Utilizando a proposição acima, mostre que
lim (x, y) (0,0) x^3x^2+y^2=0

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que quando se aproxima de , o valor da função vai para zero. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como controlar o comportamento da função quando e ficam bem próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, uma técnica legal para lidar com limites de duas variáveis é mudar para coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, a distância até a origem é só o raio , o que simplifica as coisas. Lembra que e .

Passo 3

Vamos reescrever a função em termos de x^3x^2 + y^2 = (r cos(theta))^3(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^3 cos^3(theta)r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) e r^3 cos^3(theta)r^2 = r cos^3(theta) :
Como , a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando |r cos^3(theta)| <= |r| tende a zero. Sabemos que , então podemos afirmar que:
E como , então . Pelo Teorema do Squeeze, se e , então .

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados