Utilizando a proposição acima, mostre que
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que quando
se aproxima de
, o valor da função
vai para zero. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como controlar o comportamento da função quando
e
ficam bem próximos de zero.
Passo 2
Primeiro, uma técnica legal para lidar com limites de duas variáveis é mudar para coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, a distância até a origem é só o raio
, o que simplifica as coisas. Lembra que
e
.
Passo 3
Vamos reescrever a função em termos de
e
:
Como
, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando
tende a zero. Sabemos que
, então podemos afirmar que:
E como
, então
. Pelo Teorema do Squeeze, se
e
, então
.
Resposta
Portanto,
.