Seja g(x, y)=a+x^{2}-y^{2}, com a uma constante fixada.
a) Calcule \nabla g.
b) Encontre os pontos críticos de g.
c) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de g.
d) Encontre o determinante hessiano de g.
e) Classifique os pontos críticos de g.
Passo 1
O enunciado dá a função g(x,y)=a+x^{2}-y^{2}, com a uma constante fixada, e pede:
(a) calcular \nabla g;
(b) encontrar os pontos críticos de g;
(c) calcular as derivadas parciais de segunda ordem de g;
(d) encontrar o determinante hessiano de g;
(e) classificar os pontos críticos de g.
Informações relevantes fornecidas:
A função é explicitamente g(x,y)=a+x^{2}-y^{2}.
A constante a é fixada (mas desconhecida); devemos observar se ela influencia derivadas e classificação.
Não há restrições no domínio, então x e y variam em todo o plano \mathbb{R}^{2}.
Passo 2
O que é o gradiente e como calculá-lo (aula curta): o gradiente de uma função de duas variáveis g(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais primeiras. Em notação,
Observação: a constante a não aparece no gradiente porque desaparece ao derivar; ela apenas desloca verticalmente o gráfico de g.]
Passo 4
O que é ponto crítico e como encontrá-lo (mini-aula): um ponto crítico de g\) é um ponto onde o gradiente é o vetor zero (todas as derivadas parciais primeiras iguais a zero) ou onde alguma derivada parcial não existe. Aqui as derivadas existem em todo \(\mathbb{R}^{2}\), então resolvemos
\[\nabla g(x,y)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto o único ponto crítico é (0,0)\]. Note que isto independe de \(a.]
Passo 5
Derivadas parciais de segunda ordem (o que são e por que importam): são as derivadas das derivadas parciais primeiras; elas entram na matriz Hessiana que permite classificar pontos críticos usando o teste de segunda ordem.
Calculemos explicitamente:
\dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(x,y): derivar \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x em relação a x dá 2. Assim
\dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(x,y)=2.
\dfrac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}(x,y): derivar \dfrac{\partial g}{\partial y}=-2y em relação a y dá -2. Assim
\dfrac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}(x,y)=-2.
Derivadas mistas \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} g}{\partial y\partial x}: derivando \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x em relação a y obtém-se 0; derivando \dfrac{\partial g}{\partial y}=-2y em relação a x também obtém-se 0. Pela igualdade das mistas (Teorema de Clairaut, aqui válido pois g é C^{\infty}), ambas são 0:
Matriz Hessiana e seu determinante (definição e cálculo): a matriz Hessiana H_g(x,y) de uma função de duas variáveis é a matriz 2\times2 formada pelas segundas derivadas:
O determinante hessiano (denotado muitas vezes por D ou \det H) é
\det H_g(x,y)= (2)\cdot(-2) - (0)^{2} = -4.
Esse valor é constante em todo o domínio e, em particular, no ponto crítico (0,0) vale -4.]
Passo 7
Classificação dos pontos críticos (explicação do teste de segunda ordem): para uma função g duas variáveis, no ponto crítico p calcula-se D=\det H_g(p) e observa-se:
Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(p)>0, então p é mínimo local.
Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(p)<0, então p é máximo local.
Se D<0, então p é ponto de sela (saddle).
Se D=0, o teste é inconclusivo.
Aplicando ao nosso caso no ponto crítico (0,0):
Calculamos \det H_g(0,0)=-4<0.
Então, pela regra acima, (0,0) é um ponto de sela.
Intuição rápida (para fixar): ao restringir g às direções coordenadas nota-se que
sobre a reta y=0 temos g(x,0)=a+x^{2} (com mínimo em x=0);
sobre a reta x=0 temos g(0,y)=a-y^{2} (com máximo em y=0).
Isso mostra comportamento de sela em (0,0): mínimo numa direção e máximo em outra.