Seja g(x, y)=a+x^{2}-y^{2}, com a uma constante fixada.
a) Calcule \nabla g.
b) Encontre os pontos críticos de g.
c) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de g.
d) Encontre o determinante hessiano de g.
e) Classifique os pontos críticos de g.

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,y)=a+x^{2}-y^{2}, com a uma constante fixada, e pede:
(a) calcular \nabla g;
(b) encontrar os pontos críticos de g;
(c) calcular as derivadas parciais de segunda ordem de g;
(d) encontrar o determinante hessiano de g;
(e) classificar os pontos críticos de g.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é explicitamente g(x,y)=a+x^{2}-y^{2}.
  • A constante a é fixada (mas desconhecida); devemos observar se ela influencia derivadas e classificação.
  • Não há restrições no domínio, então x e y variam em todo o plano \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculá-lo (aula curta): o gradiente de uma função de duas variáveis g(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais primeiras. Em notação,
\nabla g(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)\\[6pt]\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}.
Isso nos diz a direção de crescimento mais rápido de g. Para calcular cada componente, derivamos tratando a outra variável como constante.
Agora calculemos as derivadas parciais de primeira ordem de g(x,y)=a+x^{2}-y^{2}.
Derivando em relação a x:
  • a é constante, então sua derivada é 0.
  • A derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • A derivada de -y^{2} em relação a x é 0 (pois y é tratada como constante).
    Logo,
\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2x.
Derivando em relação a y:
  • a 0.
  • x^{2} 0 (já que x é tratado como constante).
  • A derivada de -y^{2} em relação a y é -2y.
    Logo,
\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)=-2y.]

Passo 3

Escrevendo o gradiente com os resultados obtidos:
\nabla g(x,y)=\begin{pmatrix}2x\\[4pt]-2y\end{pmatrix}.
Observação: a constante a não aparece no gradiente porque desaparece ao derivar; ela apenas desloca verticalmente o gráfico de g.]

Passo 4

O que é ponto crítico e como encontrá-lo (mini-aula): um ponto crítico de g\) é um ponto onde o gradiente é o vetor zero (todas as derivadas parciais primeiras iguais a zero) ou onde alguma derivada parcial não existe. Aqui as derivadas existem em todo \(\mathbb{R}^{2}\), então resolvemos \[\nabla g(x,y)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Substituindo as componentes:
\begin{cases} 2x=0,\\[4pt] -2y=0. \end{cases}
Resolvendo cada equação:
2x=0 \Rightarrow x=0, \qquad -2y=0 \Rightarrow y=0.
Portanto o único ponto crítico é (0,0)\]. Note que isto independe de \(a.]

Passo 5

Derivadas parciais de segunda ordem (o que são e por que importam): são as derivadas das derivadas parciais primeiras; elas entram na matriz Hessiana que permite classificar pontos críticos usando o teste de segunda ordem.
Calculemos explicitamente:
  • \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(x,y): derivar \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x em relação a x 2. Assim
\dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(x,y)=2.
  • \dfrac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}(x,y): derivar \dfrac{\partial g}{\partial y}=-2y em relação a y -2. Assim
\dfrac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}(x,y)=-2.
  • Derivadas mistas \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} g}{\partial y\partial x}: derivando \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x em relação a y obtém-se 0; derivando \dfrac{\partial g}{\partial y}=-2y em relação a x também obtém-se 0. Pela igualdade das mistas (Teorema de Clairaut, aqui válido pois g é C^{\infty}), ambas são 0:
\dfrac{\partial^{2} g}{\partial x\partial y}(x,y)=\dfrac{\partial^{2} g}{\partial y\partial x}(x,y)=0.

Passo 6

Matriz Hessiana e seu determinante (definição e cálculo): a matriz Hessiana H_g(x,y) de uma função de duas variáveis é a matriz 2\times2 formada pelas segundas derivadas:
H_g(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x\partial y}\\[8pt] \dfrac{\partial^{2} g}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Substituindo os valores encontrados:
H_g(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.
O determinante hessiano (denotado muitas vezes por D ou \det H) é
\det H_g(x,y)= (2)\cdot(-2) - (0)^{2} = -4.
Esse valor é constante em todo o domínio e, em particular, no ponto crítico (0,0) vale -4.]

Passo 7

Classificação dos pontos críticos (explicação do teste de segunda ordem): para uma função g duas variáveis, no ponto crítico p calcula-se D=\det H_g(p) e observa-se:
  • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(p)>0, então p é mínimo local.
  • Se D>0 e \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(p)<0, então p é máximo local.
  • Se D<0, então p é ponto de sela (saddle).
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.
Aplicando ao nosso caso no ponto crítico (0,0):
  • Calculamos \det H_g(0,0)=-4<0.
    Então, pela regra acima, (0,0) é um ponto de sela.
Intuição rápida (para fixar): ao restringir g às direções coordenadas nota-se que
  • sobre a reta y=0 temos g(x,0)=a+x^{2} (com mínimo em x=0);
  • sobre a reta x=0 temos g(0,y)=a-y^{2} (com máximo em y=0).
    Isso mostra comportamento de sela em (0,0): mínimo numa direção e máximo em outra.

Resposta

(a) \nabla g(x,y)=\begin{pmatrix}2x\\[4pt]-2y\end{pmatrix}
(b) ponto crítico: (0,0)
(c) \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(x,y)=2,\quad \dfrac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}(x,y)=-2,\quad \dfrac{\partial^{2} g}{\partial x\partial y}(x,y)=0
(d) \det H_g(x,y)=-4
(e) O ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.]

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