Nas questões de 6 a 9, considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C, resultante da intersecção de z=f(x, y) \mathrm{com}\\ \(y=0, no ponto \left(1,0, \frac{e-1}{e+1}\right))

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a função f(x,y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}.
  • A curva C é a interseção da superfície z=f(x,y) com o plano y=0.
  • O ponto onde queremos a inclinação da reta tangente é \left(1,0,\dfrac{e-1}{e+1}\right).
  • O que se pede: encontrar a inclinação da reta tangente à curva C naquele ponto (ou seja, a derivada \dfrac{dz}{dx} ao longo de C em x=1).

Passo 2

Primeiro vou obter uma expressão para a curva C vista como função de uma variável (porque y é fixo em zero).
  • Ao impor y=0 na função f, define-se a função univariável
g(x)=f(x,0)=\frac{e^{x}-e^{0}}{e^{x}+e^{0}}=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}.
  • A curva C pode ser parametrizada por x como o espaço de pontos
\mathbf{r}(x)=\bigl(x,\;0,\;g(x)\bigr).
  • A reta tangente à curva C em um ponto corresponde ao vetor tangente \mathbf{r}'(x). Assim, a inclinação (pendente no plano xz) é dada por
\frac{dz}{dx}=g'(x),
avaliada em x=1.

Passo 3

Vou calcular g'(x). Para isso uso a regra do quociente.
  • Regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis, então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) o denominador; u'(x) e v'(x) são as derivadas deles.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente a g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=e^{x}-1 e v(x)=e^{x}+1:
  • Calculo das derivadas:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-1\bigr)=e^{x}, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+1\bigr)=e^{x}.
  • Aplicando a fórmula:
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{e^{x}\bigl(e^{x}+1\bigr)-\bigl(e^{x}-1\bigr)e^{x}}{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}}.
  • Simplificando o numerador:
e^{x}\bigl(e^{x}+1\bigr)-\bigl(e^{x}-1\bigr)e^{x} = e^{2x}+e^{x}-e^{2x}+e^{x}=2e^{x}.
  • Portanto
g'(x)=\frac{2e^{x}}{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}}.

Passo 5

Agora avalio a derivada em x=1:
g'(1)=\frac{2e^{1}}{\bigl(e^{1}+1\bigr)^{2}}=\frac{2e}{\bigl(e+1\bigr)^{2}}.
Opcional (interpretação geométrica leve): o vetor tangente à curva C em x=1 é
\mathbf{r}'(1)=\bigl(1,\;0,\;g'(1)\bigr)=\left(1,\;0,\;\frac{2e}{(e+1)^{2}}\right),
ou seja, a reta tangente tem componente horizontal em x igual a 1 e subida vertical (em z) igual a \dfrac{2e}{(e+1)^{2}} por unidade de x.

Passo 6

Resumo final e ânimo: a inclinação pedida é \dfrac{dz}{dx} ao longo de C em x=1, e encontramos o valor exato \dfrac{2e}{(e+1)^{2}}. Boa! Está feito — e respira, isso é um derivadinha direta e dá pra decorar o processo: colocar y=0, reduzir para função univariável, derivar com quociente.

Resposta

\dfrac{2e}{(e+1)^{2}}

Exercícios relacionados