Nas questões de 6 a 9, considere
, com
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva
, resultante da intersecção de
, no ponto
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dada a função
- A curva
é a interseção da superfície com o plano . - O ponto onde queremos a inclinação da reta tangente é
. - O que se pede: encontrar a inclinação da reta tangente à curva
naquele ponto (ou seja, a derivada ao longo de em ).
Passo 2
Primeiro vou obter uma expressão para a curva
vista como função de uma variável (porque
é fixo em zero).
- Ao impor
na função , define-se a função univariável
- A curva
pode ser parametrizada por como o espaço de pontos
- A reta tangente à curva
em um ponto corresponde ao vetor tangente . Assim, a inclinação (pendente no plano ) é dada por
avaliada em
.
Passo 3
Vou calcular
. Para isso uso a regra do quociente.
- Regra do quociente: se
com e diferenciáveis, então
Aqui
é o numerador e
o denominador;
e
são as derivadas deles.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente a
com
e
:
- Calculo das derivadas:
- Aplicando a fórmula:
- Simplificando o numerador:
- Portanto
Passo 5
Agora avalio a derivada em
:
Opcional (interpretação geométrica leve): o vetor tangente à curva
em
é
ou seja, a reta tangente tem componente horizontal em
igual a
e subida vertical (em
) igual a
por unidade de
.
Passo 6
Resumo final e ânimo: a inclinação pedida é
ao longo de
em
, e encontramos o valor exato
. Boa! Está feito — e respira, isso é um derivadinha direta e dá pra decorar o processo: colocar
, reduzir para função univariável, derivar com quociente.