As questões 13-27 usam as regras para calcular determinantes específicos.
23. A eliminação reduz A a U. Então A=L U :
A=[ccc 3 & 3 & 4 6 & 8 & 7 -3 & 5 & -9 ]=[ccc 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 4 & 1 ][ccc 3 & 3 & 4 0 & 2 & -1 0 & 0 & -1 ]=L U
Encontre os determinantes de L, U, A, U^-1 L^-1 e U^-1 L^-1 A.

Passo 1

O enunciado dá a fatoração
A = L,U
com
L=1&0&02&1&0-1&4&1, U=3&3&40&2&-10&0&-1,
e pede os determinantes de L, U, A, U^-1L^-1 e U^-1L^-1A. Vamos usar que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus elementos diagonais, e que det(AB)=det(A)det(B).

Passo 2

Como L é triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a 1,
det(L)=1cdot1cdot1=1

Passo 3

Como U é triangular superior com elementos da diagonal 3, 2 e -1,
det(U)=3cdot2cdot(-1)=-6

Passo 4

Pela propriedade de multiplicação de determinantes,
det(A)=det(LU)=det(L),det(U)=1cdot(-6)=-6

Passo 5

Para U^-1L^-1 usamos det(U^-1)=1/det(U) e det(L^-1)=1/det(L), logo
det(U^-1L^-1) =det(U^-1),det(L^-1) =1det(U)cdot1det(L) =1-6cdot1 =-tfrac16

Passo 6

Finalmente
U^-1L^-1A = U^-1L^-1(LU)=U^-1U = I,
e como det(I)=1, temos
det(U^-1L^-1A)=1

Resposta

det(L)=1
det(U)=-6
det(A)=-6
det(U^-1L^-1)=-tfrac16
det(U^-1L^-1A)=1

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