As questões 3-15 são sobre a solução de A x=b. Siga os passos das aulas para encontrar xp e xn. Comece pela matriz aumentada com a última coluna b.
Mostre por eliminação que ( b1, b2, b3 ) está no espaço coluna se b3-2 b2+4 b1=0.
A=[lll 1 & 3 & 1 3 & 8 & 2 2 & 4 & 0 ]
Que combinação das linhas de A resulta na linha nula?

Passo 1

O enunciado pede que, para
A= 1 & 3 & 1 3 & 8 & 2 2 & 4 & 0 , boldsymbol b=(b1,b2,b3),
mostremos por eliminação de Gauss que boldsymbol b está em Col (A) se, e somente se,
b3 - 2b2 + 4b1 = 0,
e em seguida identifiquemos qual combinação das linhas de A gera a linha nula. Usaremos conceitos de consistência de sistema e dependência linear de linhas.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e zeramos abaixo de a11:
1 & 3 & 1 & b1 3 & 8 & 2 & b2 2 & 4 & 0 & b3 ;xrightarrow,R2>=ts R2-3R1,;R3>=ts R3-2R1,; 1 & 3 & 1 & b1 0 & -1 & -1 & b2-3b1 0 & -2 & -2 & b3-2b1

Passo 3

Agora zeramos abaixo de a22 com
R3>=ts R3-2R2,
dando
1 & 3 & 1 & b1 0 & -1 & -1 & b2-3b1 0 & 0 & 0 & b3-2b1 -2(b2-3b1)

Passo 4

Da última linha vem a equação
0 = b3 - 2b1 -2b2 +6b1 = b3 -2b2 +4b1
Portanto, o sistema só é consistente (isto é, boldsymbol bin Col (A)) se e somente se
b3 - 2b2 + 4b1 = 0

Passo 5

A combinação de operações que zerou a última linha corresponde, nas linhas originais de A, a fazer
R3 -2R2 +4R1 = 0
Isto mostra que as linhas de A são dependentes e satisfazem
4,linha1(A);-;2,linha2(A);+;linha3(A)= (0,0,0)

Resposta

4R1 ;-;2R2 ;+;R3 ;=;0

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