As questões 3-15 são sobre a solução de A x=b. Siga os passos das aulas para encontrar xp e xn. Comece pela matriz aumentada com a última coluna b.
Quais vetores (b1, b2, b3) estão no espaço coluna de A ? Quais combinações das linhas de A resultam em zero?
A=[lll1 & 2 & 1 2 & 6 & 3 0 & 2 & 5]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
Ax=b, A= 1 & 2 & 1 2 & 6 & 3 0 & 2 & 5 , b=(b1,b2,b3)^T,
encontrando uma solução particular xp e o espaço nulo xn. Em seguida devemos dizer para quais (b1,b2,b3) o sistema é compatível (espaço coluna de A) e quais combinações das linhas de A dão zero (dependências lineares entre as linhas).

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss à matriz aumentada
[ccc|c 1 & 2 & 1 & b1 2 & 6 & 3 & b2 0 & 2 & 5 & b3 ]
Fazendo R2 R2-2R1 e depois R3 R3-R2, obtemos em forma escalonada
[ccc|c 1 & 2 & 1 & b1 0 & 2 & 1 & b2-2b1 0 & 0 & 4 & b3-b2+2b1 ]
Dividindo a segunda linha por 2 e a terceira por 4, temos o sistema equivalente
x1+2x2+x3=b1, x2+tfrac12x3=tfracb2-2b12, x3=tfracb3-b2+2b14

Passo 3

Resolvendo por retrossubstituição:
x3=b3-b2+2b14, x2=b2-2b12-12x3 =3b2-6b1-b34,
x1=b1-2x2-x3 =14b1-5b2+b34
Logo uma solução particular genérica é
xp = 14b1-5b2+b34[6pt] 3b2-6b1-b34[6pt] b3-b2+2b14 ]

Passo 4

Como não apareceu nenhuma linha do tipo 0;0;0mid d com dneq0, o sistema é sempre compatível. Além disso, det A=8neq0, logo o núcleo do operador é trivial:
xn=0

Passo 5

Como para todo (b1,b2,b3)inR^3 existe solução, o espaço coluna de A é todo R^3. Em outras palavras, todos os vetores (b1,b2,b3) estão em Col(A).

Passo 6

As linhas de A,
r1=(1,2,1),; r2=(2,6,3),; r3=(0,2,5),
são linearmente independentes (pois rank(A)=3), portanto a única combinação
alpha,r1+beta,r2+gamma,r3=,(0,0,0)
é a trivial alpha=beta=gamma=0.

Resposta

xp= 14b1-5b2+b34[4pt] 3b2-6b1-b34[4pt] b3-b2+2b14 , xn=0
Espaço coluna de A: R^3 (todos os (b1,b2,b3)).
Única combinação de linhas que resulta em zero: trivial alpha=beta=gamma=0.]

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