As questões 3-15 são sobre a solução de A x=b. Siga os passos das aulas para encontrar xp e xn. Comece pela matriz aumentada com a última coluna b.
Sob qual condição em b1, b2, b3 este sistema é solúvel? Inclua b como uma quarta coluna na eliminação. Encontre todas as soluções quando esta condição for satisfeita:
x+2 y-2 z=b1 2 x+5 y-4 z=b2 4 x+9 y-8 z=b3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x + 2y - 2z = b1, 2x + 5y - 4z = b2, 4x + 9y - 8z = b3,
usando eliminação de Gauss para encontrar uma solução particular xp e a solução geral do espaço nulo xn. O conteúdo aqui é sistemas lineares, eliminação de Gauss e caracterização da condição de consistência.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha:
[ccc|c 1 & 2 & -2 & b1 2 & 5 & -4 & b2 4 & 9 & -8 & b3 ]
Fazendo L2 L2-2L1 e L3 L3-4L1 obtemos
[ccc|c 1 & 2 & -2 & b1 0 & 1 & 0 & b2-2b1 0 & 1 & 0 & b3-4b1 ]
Em seguida L3 L3-L2
[ccc|c 1 & 2 & -2 & b1 0 & 1 & 0 & b2-2b1 0 & 0 & 0 & b3-b2-2b1 ]

Passo 3

Para que o sistema seja solúvel, a última equação deve ser 0=0, ou seja,
b3 - b2 - 2b1 = 0
Logo, a condição de consistência é
b3 = b2 + 2b1

Passo 4

Assumindo b3 = b2 + 2b1, temos duas equações pivô para x e y e z livre. Da segunda linha:
y = b2 - 2b1
Da primeira linha, com z=t como parâmetro livre:
x + 2y -2z = b1 Longrightarrow x = b1 - 2y + 2t = b1 - 2(b2-2b1) + 2t = 5b1 - 2b2 + 2t
Uma solução particular corresponde a escolher t=0:
xp = 5b1 - 2b2[6pt]b2 - 2b1[4pt]0 ]

Passo 5

Para a parte homogênea ( b=0), repetimos a eliminação e vemos que z é livre e gera o único vetor do núcleo. Tomando t=1,
xn = 201
Assim, a solução geral é
x = xp + t,xn = 5b1-2b2[3pt]b2-2b1[3pt]0 + t201, tinR ]

Resposta

Condição de solubilidade:\quad b3=b2+2b1
Para essa condição, a solução geral é
x = 5b1-2b2[3pt]b2-2b1[3pt]0 + t201, tinR ]

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