As questões 3-15 são sobre a solução de A x=b. Siga os passos das aulas para encontrar xp e xn. Comece pela matriz aumentada com a última coluna b.
Quais vetores (b1, b2, b3) estão no espaço coluna de A ? Quais combinações das linhas de A resultam em zero?
A=[lll1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 2 & 4 & 8].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 2 & 4 & 8
e pede (i) caracterizar todos os vetores ,(b1,b2,b3)inR^3 para os quais o sistema Ax=b é consistente (isto é, o espaço coluna de A), e (ii) encontrar todas as combinações lineares das linhas de A que dão o vetor zero (isto é, a dependência linear entre as linhas). Para isso, usaremos eliminação sobre a matriz aumentada l[Amidbr] e depois resolveremos u1r1+u2r2+u3r3=0.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada
l[Amidbr] = 1 & 1 & 1 & mid & b1 1 & 2 & 4 & mid & b2 2 & 4 & 8 & mid & b3
e aplicamos as operações:
R2 R2-R1, R3 R3-2R1,
ficando
1 & 1 & 1 & mid & b1 0 & 1 & 3 & mid & b2-b1 0 & 2 & 6 & mid & b3-2b1
Em seguida,
R3 R3-2R2 ;Longrightarrow; 1 & 1 & 1 & mid & b1 0 & 1 & 3 & mid & b2-b1 0 & 0 & 0 & mid & b3-2b2
Para o sistema ser consistente, é preciso que a última linha seja 0=0, ou seja
b3-2b2=0 ;Long<=ftrightarrow; b3=2,b2

Passo 3

Concluímos que o espaço coluna de A é
l(b1,b2,b3)inR^3m|b3=2b2r

Passo 4

Para achar as dependências lineares entre as linhas de
Isso gera o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda obtém-se . Em outras palavras,
isto é, .

Resposta

O espaço coluna de A é
l(b1,b2,b3)inR^3m|b3=2b2r
A combinação linear não-trivial das linhas de A que resulta em zero é
-2,r2+r3=0

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