As questões 3-15 são sobre a solução de A x=b. Siga os passos das aulas para encontrar xp e xn. Comece pela matriz aumentada com a última coluna b.
Construa um sistema 2 por 3 A x=b com solução particular xp=(2,4,0) e solução homogênea xn= qualquer múltiplo de (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para construir um sistema linear de dimensão 2times3, ou seja, com uma matriz AinR^2times3 e vetor boldsymbol binR^2, de modo que a solução geral de
Aboldsymbol x = boldsymbol b
seja a soma de uma solução particular boldsymbol xp=(2,4,0) e da solução da homogênea que é todo múltiplo de (1,1,1). O conteúdo envolvido é a decomposição da solução geral em parte particular mais espaço nulo (Núcleo) de A.

Passo 2

Para que o espaço nulo de A seja exatamente span(1,1,1), cada linha de A deve ser ortogonal ao vetor (1,1,1). Isso porque, se Aboldsymbol x=0, então cada linha ri satisfaz ricdotboldsymbol x=0, e para que o único vetor que anula todas as linhas seja um múltiplo de (1,1,1), essas linhas devem satisfazer
ricdot(1,1,1)=0

Passo 3

Escolhemos duas linhas independentes de R^3 que sejam ortogonais a (1,1,1). Por exemplo,
r1 = (1,,-1,,0), r2 = (0,,1,,-1)
Verifique rapidamente:
r1cdot(1,1,1)=1-1+0=0, r2cdot(1,1,1)=0+1-1=0
Assim definimos
A = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1

Passo 4

Para garantir que boldsymbol xp=(2,4,0) seja uma solução particular, calculamos
boldsymbol b = A,boldsymbol xp = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 240 = 2-4+00+4-0 = -24

Passo 5

Logo, o sistema solicitado em forma aumentada é
1 & -1 & 0 &m| & -2 0 & 1 & -1 &m| & 4 ,
cuja solução geral é
boldsymbol x = boldsymbol xp + t,(1,1,1), tinR

Resposta

A escolha
A = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 , boldsymbol b = -24
satisfaz que boldsymbol xp=(2,4,0) é particular e Ker(A)=span(1,1,1).

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