As questões 3-15 são sobre a solução de
. Siga os passos das aulas para encontrar
e
. Comece pela matriz aumentada com a última coluna
.
Explique por que todas estas afirmações são falsas:
(a) A solução completa é qualquer combinação linear de
e
.
(b) Um sistema
tem no máximo uma solução particular.
(c) A solução
com todas as variáveis livres zero é a solução mais curta (comprimento mínimo
. Encontre um contraexemplo 2 por 2.
(d) Se
é invertível, não há solução
no espaço nulo.
Explique por que todas estas afirmações são falsas:
(a) A solução completa é qualquer combinação linear de
(b) Um sistema
(c) A solução
(d) Se
Passo 1
O enunciado trata de sistemas lineares da forma
. Aprendemos que a solução geral é dada por
onde
é uma solução particular de
e
é qualquer solução de
. Precisamos explicar por que as afirmações (a), (b), (c) e (d) abaixo são falsas.
Passo 2
Afirmação (a): “A solução completa é qualquer combinação linear de
e
.”
Isto é falso porque a solução geral forma um conjunto afim, não um subespaço. Só satisfaz
. Por exemplo, tome
Isto é falso porque a solução geral forma um conjunto afim, não um subespaço. Só
Uma particular é
e
satisfaz
. Mas se você fizer
(uma combinação linear), então
logo
não é solução de
.
Passo 3
Afirmação (b): “Um sistema
tem no máximo uma solução particular.”
Isso é falso porque, uma vez encontrada uma , qualquer vetor
com
também é solução particular. Se
, há infinitas soluções particulares.
Isso é falso porque, uma vez encontrada uma
Passo 4
Afirmação (c): “A solução
com todas as variáveis livres zero é a solução de norma mínima.”
Também é falso. Contraexemplo em :
Também é falso. Contraexemplo em
Usando variável livre
dá
com
. Mas escolhendo
obtemos
Logo a escolha “variáveis livres zero” nem sempre minimiza a norma.
Passo 5
Afirmação (d): “Se
é invertível, não há solução
no espaço nulo.”
Isto está mal escrito: se é invertível, a única solução de
é
. Mas
é solução no espaço nulo. Então existe sim a solução trivial
.
Isto está mal escrito: se
Resposta
(a) Falsa: tomar combinações lineares de
destrói a condição
, pois a solução geral é afim.
(b) Falsa: a partir de uma particular podemos somar vetores do núcleo e gerar infinitas outras.
(c) Falsa: a escolha “variáveis livres zero” não garante norma mínima, como o exemplo mostra.
(d) Falsa: mesmo com invertível o vetor zero pertence ao espaço nulo.
(b) Falsa: a partir de uma particular podemos somar vetores do núcleo e gerar infinitas outras.
(c) Falsa: a escolha “variáveis livres zero” não garante norma mínima, como o exemplo
(d) Falsa: mesmo com