As questões 3-15 são sobre a solução de A x=b. Siga os passos das aulas para encontrar xp e xn. Comece pela matriz aumentada com a última coluna b.
Explique por que todas estas afirmações são falsas:
(a) A solução completa é qualquer combinação linear de xp e xn.
(b) Um sistema A x=b tem no máximo uma solução particular.
(c) A solução xp com todas as variáveis livres zero é a solução mais curta (comprimento mínimo |x|). Encontre um contraexemplo 2 por 2.
(d) Se A é invertível, não há solução xn no espaço nulo.

Passo 1

O enunciado trata de sistemas lineares da forma Ax=b. Aprendemos que a solução geral é dada por
x = xp + xn,
onde xp é uma solução particular de Ax=b e xn é qualquer solução de Ax=0. Precisamos explicar por que as afirmações (a), (b), (c) e (d) abaixo são falsas.

Passo 2

Afirmação (a): “A solução completa é qualquer combinação linear de xp e xn.”
Isto é falso porque a solução geral forma um conjunto afim, não um subespaço. Só xp+xn satisfaz Ax=b. Por exemplo, tome
A=1&0, b=1
Uma particular é xp=(1,0) e xn=(0,1) satisfaz Axn=0. Mas se você fizer 2,xp=(2,0) (uma combinação linear), então
A(2,0) = 2 neq 1,
logo 2,xp não é solução de Ax=b.

Passo 3

Afirmação (b): “Um sistema Ax=b tem no máximo uma solução particular.”
Isso é falso porque, uma vez encontrada uma xp, qualquer vetor xp+xn com xninker(A) também é solução particular. Se ker(A)neq0, há infinitas soluções particulares.

Passo 4

Afirmação (c): “A solução xp com todas as variáveis livres zero é a solução de norma mínima.”
Também é falso. Contraexemplo em 2times2:
x1+x2=1
Usando variável livre x2=0 xp=(1,0) com |xp|=raiz1. Mas escolhendo x1=x2=tfrac12 obtemos
x'p=l(tfrac12,tfrac12r), |x'p|=raiztfrac14+tfrac14=tfrac1raiz2<1
Logo a escolha “variáveis livres zero” nem sempre minimiza a norma.

Passo 5

Afirmação (d): “Se A é invertível, não há solução xn no espaço nulo.”
Isto está mal escrito: se A é invertível, a única solução de Ax=0 é x=0. Mas 0 é solução no espaço nulo. Então existe sim a solução trivial xn=0.

Resposta

(a) Falsa: tomar combinações lineares de xp destrói a condição Ax=b, pois a solução geral é afim.
(b) Falsa: a partir de uma particular podemos somar vetores do núcleo e gerar infinitas outras.
(c) Falsa: a escolha “variáveis livres zero” não garante norma mínima, como o exemplo x1+x2=1 mostra.
(d) Falsa: mesmo com A invertível o vetor zero pertence ao espaço nulo.

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