Questão 1. (Valor 2,0) Considere o conjunto G=(1,1,1),(0,1,1),(1,2,2)
a) Verifique se G é LI ou LD .
b) O vetor (2,1,1) é combinação linear dos vetores de G ?
c) O vetor (0,0,1) é combinação linear dos vetores de G?
d) O conjunto G gera circ R^3 ?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
G = (1,1,1),;(0,1,1),;(1,2,2)
em R^3 e pede:
a) verificar se G é LI ou LD,
b) se (2,1,1) é combinação linear de G,
c) se (0,0,1) é combinação linear de G,
d) se G gera R^3.
Vamos usar conceitos de dependência linear, resolução de sistemas lineares e dimensão de subespaços.

Passo 2

Para a parte (a) montamos a combinação linear nula
alpha(1,1,1)+beta(0,1,1)+gamma(1,2,2) = (0,0,0)
Isso gera o sistema
alpha + 0beta + gamma = 0, alpha + beta + 2gamma = 0, alpha + beta + 2gamma = 0
Observe que as duas últimas equações são idênticas. Além disso percebemos que
(1,1,1)+(0,1,1) = (1,2,2),
ou seja, ;v1+v2=v3. Logo existe combinação não trivial que zera a soma, e G é linearmente dependente.

Passo 3

Para a parte (b) queremos
O sistema é
As duas últimas equações são iguais. Tomando livremente e depois . Assim
Portanto sim, está em .

Passo 4

Para a parte (c) queremos
alpha(1,1,1)+beta(0,1,1)+gamma(1,2,2) = (0,0,1)
O sistema é
alpha + gamma = 0, alpha + beta + 2gamma = 0, alpha + beta + 2gamma = 1
Aqui as segunda e terceira equações são contraditórias ( 0neq1), logo não há solução. Portanto (0,0,1) não é combinação linear de G.

Passo 5

Para a parte (d) note que G tem três vetores mas só dois são independentes (dimensão do span é 2). Como dimR^3=3, o span de G não é todo R^3. Logo G não gera R^3.

Resposta

a) G é linearmente dependente.
b) Sim, (2,1,1)=2(1,1,1)-1(0,1,1).
c) Não, não existe combinação linear que dê (0,0,1).
d) Não, G não gera R^3.

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