Questão 1. (Valor 2,0) Considere o conjunto
a) Verifique se G é LI ou LD .
b) O vetor é combinação linear dos vetores de G ?
c) O vetor é combinação linear dos vetores de G?
d) conjunto gera ?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores
em e pede:
a) verificar se é LI ou LD,
b) se é combinação linear de ,
c) se é combinação linear de ,
d) se gera .
Vamos usar conceitos de dependência linear, resolução de sistemas lineares e dimensão de subespaços.
Passo 2
Para a parte (a) montamos a combinação linear nula
Isso gera o sistema
Observe que as duas últimas equações são idênticas. Além disso percebemos que
(1,1,1)+(0,1,1) = (1,2,2),
ou seja, ;v1+v2=v3. Logo existe combinação não trivial que zera a soma, e G é linearmente dependente.
Passo 3
Para a parte (b) queremos
O sistema é
As duas últimas equações são iguais. Tomando livremente e depois . Assim
Aqui as segunda e terceira equações são contraditórias (0neq1), logo não há solução. Portanto (0,0,1) não é combinação linear de G.
Passo 5
Para a parte (d) note que G tem três vetores mas só dois são independentes (dimensão do span é 2). Como dimR^3=3, o span de G não é todo R^3. Logo G não gera R^3.
Resposta
a) G é linearmente dependente.
b) Sim, (2,1,1)=2(1,1,1)-1(0,1,1).
c) Não, não existe combinação linear que dê (0,0,1).
d) Não, G não gera R^3.