As questões 16-20 são sobre matrizes de “posto completo” r=m ou r=n.
Encontre por eliminação o posto de A e também o posto de A^T :
A=[ccc 1 & 4 & 0 2 & 11 & 5 -1 & 2 & 10 ] e A=[ccc 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 1 & 1 & q ] ( o posto depende de q)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o posto de
A1 = 1 & 4 & 0 2 & 11 & 5 -1 & 2 & 10
e de sua transposta A1^T, usando eliminação de Gauss. Em seguida, repetir o processo para
A2(q) = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 1 & 1 & q ,
cujo posto depende do parâmetro q. Lembrando que o posto de uma matriz é o número de pivôs não nulos na forma escalonada, e que rank(A)=rank(A^T).

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A1.
Começamos com
1 & 4 & 0 2 & 11 & 5 -1 & 2 & 10
Fazendo L2>=ts L2-2L1 e L3>=ts L3+L1 obtemos
1 & 4 & 0 0 & 3 & 5 0 & 6 & 10
Depois L3>=ts L3-2L2 leva a
1 & 4 & 0 0 & 3 & 5 0 & 0 & 0
Há dois pivôs não nulos (nas colunas 1 e 2), portanto
rank(A1) = 2

Passo 3

Como rank(A1^T)=rank(A1), concluímos também
rank(A1^T) = 2

Passo 4

Agora em A2(q):
1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 1 & 1 & q
Fazendo L2>=ts L2-L1 e L3>=ts L3-L1 vem
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & q-1
Em seguida L3>=ts L3-L2
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & q-2
Os pivôs são 1 (coluna 1), 1 (coluna 2) e q-2 (coluna 3).

Passo 5

– Se qneq 2, todos os três pivôs são não nulos, logo
rank(A2)=3 e rank(A2^T)=3.
– Se q=2, o último pivô é zero e resta apenas dois pivôs não nulos, então
rank(A2)=2 e rank(A2^T)=2.

Resposta

Para
A1= 1 & 4 & 0 2 & 11 & 5 -1 & 2 & 10 : rank(A1)=rank(A1^T)=2
Para
A2(q)= 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 1 & 1 & q :
– se qneq 2, rank(A2)=rank(A2^T)=3;
– se q=2, rank(A2)=rank(A2^T)=2.

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