Nas questões abaixo, encontre as derivadas das funções:
f(t)=3 t^2+7t^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(t) = \frac{3t^{2} + 7}{t^{2} - 1} $. A gente vai usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a regra do quociente, que é útil para derivar funções que são quocientes de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra do Quociente. Se você tem uma função na forma $ \frac{u(t)}{v(t)} $, onde tanto $ u(t) $ quanto $ v(t) $ são diferenciáveis, a derivada dessa função é dada por:
u(t)v(t)
Isso significa que a gente precisa derivar o numerador e o denominador separadamente e depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função:
u(t) = 3t^2 + 7 e v(t) = t^2 - 1
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ u(t) $ e $ v(t) $.

Passo 4

Vamos derivar $ u(t) $:
u(t)
A derivada de $ 3t^{2} $ é $ 6t $ e a derivada de 7 é 0, então:
u(t) = 3t^2 + 7

Passo 5

Agora, vamos derivar $ v(t) $:
v(t)
A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $ e a derivada de -1 é 0, então:
v(t) = t^2 - 1

Passo 6

Aplicando a Regra do Quociente:
f'(t) = u'(t) cdot v(t) - u(t) cdot v'(t)[v(t)]^2 = 6t cdot (t^2 - 1) - (3t^2 + 7) cdot 2t(t^2 - 1)^2
Vamos simplificar o numerador agora.

Passo 7

Vamos multiplicar cada termo:
6t cdot t^2 = 6t^3, 6t cdot (-1) = -6t
3t^2 cdot 2t = 6t^3, 7 cdot 2t = 14t
Substituindo de volta:
f'(t) = 6t^3 - 6t - 6t^3 - 14t(t^2 - 1)^2 = (-20t)(t^2 - 1)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(t) = -20t(t^2 - 1)^2

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