Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
f(x)=(1-x^2) e^-x^2.

Passo 1

Temos a função f(x) = (1 − x²)e^{−x²} e o objetivo é calcular sua transformada de Fourier usando a convenção F(ω)=∫_{−∞}{∞}f(x)e{−iωx}dx. O conteúdo envolve a transformada da gaussiana e a propriedade de derivadas em frequência para fatores x^n em domínio do tempo.

Passo 2

Sabemos que a transformada da gaussiana e^{−x²} é dada por
Fe^−x²(ω)=integral−∞^∞e^−x²e^−iωxdx=raizpi,e^−ω²/4,²²²
e que a propriedade de derivada em frequência diz que
Fx²f(x)(ω)=i²,d²dω²Ff(x)(ω)=-d²dω²Ff(x)(ω)²²²²²²

Passo 3

Podemos então escrever
F(1−x²)e^−x²(ω)=Fe^−x²(ω)-Fx²e^−x²(ω)=raizpie^−ω²/4+d²dω²l(raizpie^−ω²/4r)²²²²²²²²²

Passo 4

Definindo g(ω)=e^{−ω²/4}, calculamos as derivadas:
g'(ω)=-ω2e^−ω²/4,²
g''(ω)=l(-tfrac12+tfracω²4r)e^−ω²/4²²

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
F(ω)=raizpil(g(ω)+g''(ω)r)=raizpil(1+(-tfrac12+tfracω²4)r)e^−ω²/4=raizpil(tfrac12+tfracω²4r)e^−ω²/4²²²²

Resposta

A transformada de Fourier é
F(ω)=raizpi,l(tfrac12+tfracω²4r)e^-ω²/4²²

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