Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
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Passo 1
Temos a função f(x) = (1 − x²)e^{−x²} e o objetivo é calcular sua transformada de Fourier usando a convenção F(ω)=∫_{−∞}{∞}f(x)e{−iωx}dx. O conteúdo envolve a transformada da gaussiana e a propriedade de derivadas em frequência para fatores x^n em domínio do tempo.
Passo 2
Sabemos que a transformada da gaussiana e^{−x²} é dada por
e que a propriedade de derivada em frequência diz que
Passo 3
Podemos então escrever
Passo 4
Definindo g(ω)=e^{−ω²/4}, calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituindo de volta, obtemos
Resposta
A transformada de Fourier é