Nas questões abaixo, encontre as derivadas das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \left(x^{3} - 8\right)\left(\frac{2}{x} - 1\right) $. Aqui, estamos lidando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivada de funções que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos usar a Regra do Produto, que nos ajuda a encontrar a derivada quando temos duas funções multiplicando uma à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
$ u(x) = x^{3} - 8 $
$ v(x) = \frac{2}{x} - 1 $
A Regra do Produto nos diz que a derivada de $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $ é:
$ f’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $.
Para $ u(x) = x^{3} - 8 $:
A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante é 0. Então,
$ u’(x) = 3x^{2} $
Para $ v(x) = \frac{2}{x} - 1 $:
Reescrevendo $ \frac{2}{x} $ como $ 2x^{-1} $, a derivada de $ 2x^{-1} $ é $ -2x^{-2} $ e a derivada de uma constante é 0. Então,
$ v’(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^{2}} $
Passo 4
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a Regra do Produto:
$ f’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $
Substituindo:
$ f’(x) = 3x^{2} \left(\frac{2}{x} - 1\right) + \left(x^{3} - 8\right) \left(-\frac{2}{x^{2}}\right) $
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, $ 3x^{2} \cdot \frac{2}{x} = 6x $ e $ 3x^{2} \cdot (-1) = -3x^{2} $
Então,
$ 3x^{2} \left(\frac{2}{x} - 1\right) = 6x - 3x^{2} $
Agora, $ \left(x^{3} - 8\right) \cdot \left(-\frac{2}{x^{2}}\right) = -\frac{2x{3}}{x{2}} + \frac{16}{x^{2}} = -2x + \frac{16}{x^{2}} $
Passo 6
Juntando tudo:
$ f’(x) = (6x - 3x^{2}) + (-2x + \frac{16}{x^{2}}) $
Simplificando:
$ f’(x) = -3x^{2} + 4x + \frac{16}{x^{2}} $
Resposta
A derivada da função é $ f’(x) = -3x^{2} + 4x + \frac{16}{x^{2}} $.