Em uma empresa, o custo, em reais, para produzir
unidades de televisores é dado por:
Obtenha o custo marginal aos níveis
e q
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função que representa o custo de produção de televisores em uma empresa, dada por:
O que a gente precisa encontrar é o custo marginal para níveis de produção de $ q = 50 $, $ q = 100 $ e $ q = 200 $ unidades. O custo marginal basicamente nos mostra quanto o custo total aumenta quando produzimos uma unidade a mais. Para isso, vamos usar o conceito de derivada na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o custo marginal é a derivada da função de custo em relação à quantidade produzida $ q $. Ou seja, precisamos calcular $ C’(q) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, que, nesse caso, é como o custo muda conforme a quantidade aumenta.
Vamos derivar cada termo da função $ C(q) $:
Aplicando a regra da potência para derivadas:
- A derivada de $ 0,02 q^{3} $ é $ 0,06 q^{2} $ (multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1).
- A derivada de $ -6 q^{2} $ é $ -12 q $.
- A derivada de $ 900 q $ é $ 900 $.
- A derivada de uma constante como $ 1000 $ é $ 0 $.
Então, a derivada completa é:
Passo 3
Agora que temos a expressão para o custo marginal $ C’(q) $, vamos calcular para $ q = 50 $:
Calculando passo a passo:
- $ 50^{2} = 2500 $
- $ 0,06 \times 2500 = 150 $
- $ 12 \times 50 = 600 $
- Substituindo na expressão:
Passo 4
Vamos agora calcular para $ q = 100 $:
Calculando passo a passo:
- $ 100^{2} = 10000 $
- $ 0,06 \times 10000 = 600 $
- $ 12 \times 100 = 1200 $
- Substituindo na expressão:
Passo 5
Por fim, vamos calcular para $ q = 200 $:
Calculando passo a passo:
- $ 200^{2} = 40000 $
- $ 0,06 \times 40000 = 2400 $
- $ 12 \times 200 = 2400 $
- Substituindo na expressão:
Resposta
O custo marginal é:
- $ q = 50 $ unidades: R$ 450
- $ q = 100 $ unidades: R$ 300
- $ q = 200 $ unidades: R$ 900