Em uma empresa, o custo, em reais, para produzir q unidades de televisores é dado por:
C(q)=0,02 q^3-6 q^2+900 q+1000
Obtenha o custo marginal aos níveis q=50, q=100 e q =200

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função que representa o custo de produção de televisores em uma empresa, dada por:
C(q) = 0,02 q^3 - 6 q^2 + 900 q + 1000
O que a gente precisa encontrar é o custo marginal para níveis de produção de $ q = 50 $, $ q = 100 $ e $ q = 200 $ unidades. O custo marginal basicamente nos mostra quanto o custo total aumenta quando produzimos uma unidade a mais. Para isso, vamos usar o conceito de derivada na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o custo marginal é a derivada da função de custo em relação à quantidade produzida $ q $. Ou seja, precisamos calcular $ C’(q) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, que, nesse caso, é como o custo muda conforme a quantidade aumenta.
Vamos derivar cada termo da função $ C(q) $:
q
Aplicando a regra da potência para derivadas:
  • A derivada de $ 0,02 q^{3} $ é $ 0,06 q^{2} $ (multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de $ -6 q^{2} $ é $ -12 q $.
  • A derivada de $ 900 q $ é $ 900 $.
  • A derivada de uma constante como $ 1000 $ é $ 0 $.
Então, a derivada completa é:
C'(q)

Passo 3

Agora que temos a expressão para o custo marginal $ C’(q) $, vamos calcular para $ q = 50 $:
C'(q)
Calculando passo a passo:
  1. $ 50^{2} = 2500 $
  2. $ 0,06 \times 2500 = 150 $
  3. $ 12 \times 50 = 600 $
  4. Substituindo na expressão:
q = 50

Passo 4

Vamos agora calcular para $ q = 100 $:
q = 100
Calculando passo a passo:
  1. $ 100^{2} = 10000 $
  2. $ 0,06 \times 10000 = 600 $
  3. $ 12 \times 100 = 1200 $
  4. Substituindo na expressão:
C'(100) = 0,06 times 100^2 - 12 times 100 + 900

Passo 5

Por fim, vamos calcular para $ q = 200 $:
q = 200
Calculando passo a passo:
  1. $ 200^{2} = 40000 $
  2. $ 0,06 \times 40000 = 2400 $
  3. $ 12 \times 200 = 2400 $
  4. Substituindo na expressão:
C'(200) = 0,06 times 200^2 - 12 times 200 + 900

Resposta

O custo marginal é:
  • $ q = 50 $ unidades: R$ 450
  • $ q = 100 $ unidades: R$ 300
  • $ q = 200 $ unidades: R$ 900

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