As questões abaixo se referem ao movimento de uma partícula de massa m dentro de um poço de potencial infinito, definido na região -a / 2.
Determine as incertezas De e De

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma partícula de massa m presa num poço infinito de potencial que vai de x = –a/2 até x = +a/2. O que a questão pede são as incertezas Δx e Δp da partícula no estado fundamental desse poço. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica bem básicos:
  • Definição de incerteza ΔA = √(⟨A²⟩ – ⟨A⟩²).
  • Cálculo de valores médios ⟨x⟩, ⟨x²⟩, ⟨p⟩ e ⟨p²⟩ a partir da função de onda.
  • Na base, a função de onda do estado fundamental é
    ,
    para –a/2 < x < a/2.

Passo 2

Calcular Δx = √(⟨x²⟩ – ⟨x⟩²):
  1. Primeiro ⟨x⟩ = ∫ψ* x ψ dx. Como ψ₁(x) é função par (coseno) e x é função ímpar, o produto é ímpar, logo
    ⟨x⟩ = 0.
  2. Agora ⟨x²⟩ = ∫_{–a/2}^{a/2} x² |ψ₁(x)|² dx
    = ∫_{–a/2}^{a/2} x² (2/a) cos²(πx/a) dx.
    A gente usa cos²θ = (1 + cos2θ)/2, então
    |ψ₁|² = (2/a)·(1/2)[1 + cos(2πx/a)] = (1/a)[1 + cos(2πx/a)].
    Portanto
    ⟨x²⟩ = (1/a) ∫_{–a/2}^{a/2} x² dx + (1/a) ∫_{–a/2}^{a/2} x² cos(2πx/a) dx.
    • O primeiro integral é
      ∫ x² dx de –a/2 a +a/2 = [x³/3]_{–a/2}^{a/2} = (a³/8)/3 – (–a³/8)/3 = a³/12.
      Dividindo por a dá a²/12.
    • O segundo integral já conhecido (ou resolvível por partes) dá
      ∫_{–a/2}^{a/2} x² cos(2πx/a) dx = –a³/(2π²).
      Dividindo por a dá –a²/(2π²).
    Somando:
    ⟨x²⟩ = a²(1/12 – 1/(2π²)).
  3. Logo
    Δx = √(⟨x²⟩ – 0²) = a·√(1/12 – 1/(2π²)).

Passo 3

Calcular Δp = √(⟨p²⟩ – ⟨p⟩²):
  1. ⟨p⟩ = ∫ψ* (–iħ d/dx) ψ dx. Para a função do estado fundamental (par), dá zero por simetria.
  2. ⟨p²⟩ = ∫ψ* (–ħ² d²/dx²) ψ dx. Mas esse operador é justamente 2m vezes o Hamiltoniano cinético, e sabemos que o energia do estado fundamental é
    .
    Então
    ⟨p²⟩ = 2m·E₁ = 2m· = .
  3. Logo
    Δp = √(⟨p²⟩) = ħ·π/a.

Resposta

Δx = a·√(1/12 – 1/(2π²))
Δp = ħ·π/a

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