As questões abaixo se referem ao movimento de uma partícula de massa
dentro de um poço de potencial infinito, definido na região
.
Determine as incertezas
e
Determine as incertezas
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma partícula de massa m presa num poço infinito de potencial que vai de x = –a/2 até x = +a/2. O que a questão pede são as incertezas Δx e Δp da partícula no estado fundamental desse poço. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica bem básicos:
- Definição de incerteza ΔA = √(⟨A²⟩ – ⟨A⟩²).
- Cálculo de valores médios ⟨x⟩, ⟨x²⟩, ⟨p⟩ e ⟨p²⟩ a partir da função de onda.
- Na base, a função de onda do estado fundamental é
,
para –a/2 < x < a/2.
Passo 2
Calcular Δx = √(⟨x²⟩ – ⟨x⟩²):
-
Primeiro ⟨x⟩ = ∫ψ* x ψ dx. Como ψ₁(x) é função par (coseno) e x é função ímpar, o produto é ímpar, logo
⟨x⟩ = 0. -
Agora ⟨x²⟩ = ∫_{–a/2}^{a/2} x² |ψ₁(x)|² dx
= ∫_{–a/2}^{a/2} x² (2/a) cos²(πx/a) dx.A gente usa cos²θ = (1 + cos2θ)/2, então
|ψ₁|² = (2/a)·(1/2)[1 + cos(2πx/a)] = (1/a)[1 + cos(2πx/a)].Portanto
⟨x²⟩ = (1/a) ∫_{–a/2}^{a/2} x² dx + (1/a) ∫_{–a/2}^{a/2} x² cos(2πx/a) dx.-
O primeiro integral é
∫ x² dx de –a/2 a +a/2 = [x³/3]_{–a/2}^{a/2} = (a³/8)/3 – (–a³/8)/3 = a³/12.
Dividindo por a dá a²/12. -
O segundo integral já conhecido (ou resolvível por partes) dá
∫_{–a/2}^{a/2} x² cos(2πx/a) dx = –a³/(2π²).
Dividindo por a dá –a²/(2π²).
Somando:
⟨x²⟩ = a²(1/12 – 1/(2π²)). -
-
Logo
Δx = √(⟨x²⟩ – 0²) = a·√(1/12 – 1/(2π²)).
Passo 3
Calcular Δp = √(⟨p²⟩ – ⟨p⟩²):
-
⟨p⟩ = ∫ψ* (–iħ d/dx) ψ dx. Para a função do estado fundamental (par), dá zero por simetria.
-
⟨p²⟩ = ∫ψ* (–ħ² d²/dx²) ψ dx. Mas esse operador é justamente 2m vezes o Hamiltoniano cinético, e sabemos que o energia do estado fundamental é
.
Então
⟨p²⟩ = 2m·E₁ = 2m·= . -
Logo
Δp = √(⟨p²⟩) = ħ·π/a.
Resposta
Δx = a·√(1/12 – 1/(2π²))
Δp = ħ·π/a
Δp = ħ·π/a