Nas questões de 1 a 4, considere
, com
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva
, resultante da intersecção de
com
, no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a inclinação da reta tangente à curva
obtida pela intersecção da superfície
com o plano
, no ponto
.
Informações relevantes:
- A curva
é a intersecção da superfície com . - O ponto dado para a tangência é
. - É necessário encontrar a inclinação (isto é,
ao longo de naquele ponto).
Passo 2
Como
é constante ao longo da curva
, podemos parametrizar
por
. Uma parametrização natural é
A tangente à curva em um ponto tem vetor diretor dado por
. Calculando a derivada em relação a
obtemos
Como
é constante igual a zero, a derivada total
coincide com a derivada parcial de
em relação a
avaliada em
, isto é,
Explicando de forma simples: ao variar
mantendo
fixo, a taxa de variação de
é dada pela derivada parcial
.
Passo 3
Vamos calcular
. Colocando
temos
. Pela regra do quociente para derivadas parciais,
onde
e
. Calculamos:
Passo 4
Substituindo em
:
Fatorando
no numerador:
Portanto
Passo 5
Avaliaremos essa derivada parcial no ponto
. Como
, o numerador fica nulo:
(Para conferência:
, então o ponto
está consistente com a superfície.)
Passo 6
A inclinação da reta tangente à curva
no ponto dado é exatamente a taxa
ao longo de
, que é
. Assim o vetor diretor da reta tangente é
ou seja, a reta é horizontal em
naquele ponto. Uma forma paramétrica da reta tangente é
Resposta
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