Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida pela equação
no ponto onde
. Isso significa que precisamos descobrir a inclinação da reta que toca a curva exatamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação entre
e
quando eles estão ligados pela equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Substituindo na equação:
Para descobrir
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Como a equação está definida implicitamente, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
. Para a derivada de
, usamos a regra da cadeia:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
para encontrar a expressão da derivada:
Passo 5
Por fim, substituímos os valores de
e
na expressão da derivada:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto
é
.