Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
x^2 = y^3 ; x = 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida pela equação no ponto onde . Isso significa que precisamos descobrir a inclinação da reta que toca a curva exatamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação entre e quando eles estão ligados pela equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Substituindo na equação:
Para descobrir , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Como a equação está definida implicitamente, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :
A derivada de em relação a é . Para a derivada de , usamos a regra da cadeia:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar para encontrar a expressão da derivada:

Passo 5

Por fim, substituímos os valores de e na expressão da derivada:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto é .

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