Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante
, por
, com velocidade inicial de
. Determine:
b) a velocidade instantânea no instante
.
b) a velocidade instantânea no instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo Ox com uma aceleração que varia com o tempo, dada por
. A velocidade inicial dessa partícula é
. O objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade instantânea da partícula no instante
segundos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cinemática, especificamente como relacionar aceleração e velocidade através da integração.
Passo 2
Primeiro, lembra que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo e somar a velocidade inicial. A fórmula básica é:
Aqui,
é a velocidade inicial e
é uma variável de integração.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar
:
Agora, precisamos calcular a integral
.
Passo 4
Para resolver a integral
, podemos reescrever
usando a base do logaritmo natural:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
A segunda integral é:
Passo 7
Juntando tudo:
Calculando nos limites de 0 a 2:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos essa integral na fórmula da velocidade:
Passo 9
Para encontrar o valor numérico, calculamos
:
Resposta
A velocidade instantânea da partícula no instante
é aproximadamente 1,56 m/s.