Nas questões de 1) à 8) deve-se fazer os seguintes procedimentos:
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x);
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais lim x p^+ f(x) e lim x p^- f(x), onde p notin Df ;
(v) Esboçar o gráfico.
f(x)=2-e^-x

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=2 - e^-x
incluindo
(i) intervalos de crescimento/decrescimento,
(ii) concavidade e pontos de inflexão,
(iii) limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x),
(iv) limites laterais em pontos fora do domínio e
(v) esboço do gráfico.

Passo 2

Para achar os intervalos de crescimento e decrescimento, calculamos a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(2 - e^-xr)=e^-x
Como e^-x>0 para todo xinR, a função é estritamente crescente em (-infty,infty) e não há ponto onde f'(x)=0.

Passo 3

Para verificar concavidade e pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(e^-xr)=-e^-x
Como -e^-x<0 para todo x, f é côncava para baixo em (-infty,infty) e não há mudança de sinal em f'', logo não existem pontos de inflexão.

Passo 4

Calculamos os limites no infinito:
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyl(2 - e^-xr)=2-0=2,
limxto-inftyf(x)=limxto-inftyl(2 - e^-xr)=2-infty=-infty
Há, portanto, assíntota horizontal y=2 para xto+infty.

Passo 5

O domínio de f é R, não há pontos pnotin Df, logo não existem limites laterais em descontinuidades.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Crescente e côncavo para baixo em toda a reta.
  • Passa por l(0,f(0)r)=(0,1).
  • Assíntota horizontal em y=2 à direita.
  • Para xto-infty, tende a -infty.

Resposta

(i) Crescimento em (-infty,infty); sem decrescimento.
(ii) Côncava para baixo em (-infty,infty); sem pontos de inflexão.
(iii) limxto+inftyf(x)=2, limxto-inftyf(x)=-infty.
(iv) Não há pontos fora do domínio, logo não há limites laterais.
(v) Gráfico crescente, côncavo para baixo, passa por (0,1) e com assíntota horizontal y=2.

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