Nas questões de 1) à 8) deve-se fazer os seguintes procedimentos:
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular
;
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais
, onde
;
(v) Esboçar o gráfico.
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais
(v) Esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
incluindo
(i) intervalos de crescimento/decrescimento,
(ii) concavidade e pontos de inflexão,
(iii) e
,
(iv) limites laterais em pontos fora do domínio e
(v) esboço do gráfico.
(i) intervalos de crescimento/decrescimento,
(ii) concavidade e pontos de inflexão,
(iii)
(iv) limites laterais em pontos fora do domínio e
(v) esboço do gráfico.
Passo 2
Para achar os intervalos de crescimento e decrescimento, calculamos a primeira derivada:
Como
para todo
, a função é estritamente crescente em
e não há ponto onde
.
Passo 3
Para verificar concavidade e pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada:
Como
para todo
,
é côncava para baixo em
e não há mudança de sinal em
, logo não existem pontos de inflexão.
Passo 4
Calculamos os limites no infinito:
Há, portanto, assíntota horizontal
para
.
Passo 5
O domínio de
é
, não há pontos
, logo não existem limites laterais em descontinuidades.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Crescente e côncavo para baixo em toda a reta.
- Passa por
. - Assíntota horizontal em
à direita. - Para
, tende a .
Resposta
(i) Crescimento em
; sem decrescimento.
(ii) Côncava para baixo em ; sem pontos de inflexão.
(iii) ,
.
(iv) Não há pontos fora do domínio, logo não há limites laterais.
(v) Gráfico crescente, côncavo para baixo, passa por e com assíntota horizontal
.
(ii) Côncava para baixo em
(iii)
(iv) Não há pontos fora do domínio, logo não há limites laterais.
(v) Gráfico crescente, côncavo para baixo, passa por