Nas questões de 1) à 8) deve-se fazer os seguintes procedimentos:
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular
;
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais
, onde
;
(v) Esboçar o gráfico.
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais
(v) Esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
os seguintes itens:
(i) intervalos de crescimento e de decrescimento;
(ii) concavidade e pontos de inflexão;
(iii) e
;
(iv) limites laterais em pontos fora do domínio (se existirem);
(v) esboço do gráfico.
O conteúdo principal é derivadas de primeira e segunda ordem, análise de sinais e limites de funções exponenciais.
(i) intervalos de crescimento e de decrescimento;
(ii) concavidade e pontos de inflexão;
(iii)
(iv) limites laterais em pontos fora do domínio (se existirem);
(v) esboço do gráfico.
O conteúdo principal é derivadas de primeira e segunda ordem, análise de sinais e limites de funções exponenciais.
Passo 2
Para achar intervalos de crescimento/decrescimento, calculamos
Resolvendo
:
sempre, logo
dá
Analisando o sinal de
:
– Para ,
.
– Para ,
.
Logo
– decresce em
.
– cresce em
.
Em há um mínimo local, cujo valor é
– Para
– Para
Logo
–
–
Em
Passo 3
Para concavidade e inflexão, obtemos
Resolvendo
:
.
– Se , então
: concavidade para baixo.
– Se , então
: concavidade para cima.
Portanto há ponto de inflexão em com
– Se
– Se
Portanto há ponto de inflexão em
Passo 4
Como o domínio de
é todo
, não há pontos
para limites laterais. Calculamos apenas os limites no infinito:
Passo 5
Esboço do gráfico (forma qualitativa):
– Decresce até , atinge mínimo
, depois cresce.
– É côncavo para baixo até , côncavo para cima depois, com inflexão em
.
– Passa por (única raiz).
– Tende a quando
e a
quando
.
– Decresce até
– É côncavo para baixo até
– Passa por
– Tende a
Resposta
(i) Crescimento em
; decrescimento em
.
(ii) Concavidade para baixo em , para cima em
; ponto de inflexão em
.
(iii) ,
.
(iv) Não há limites laterais em pontos fora do domínio.
(v) Esboço conforme descrito no passo .
(ii) Concavidade para baixo em
(iii)
(iv) Não há limites laterais em pontos fora do domínio.
(v) Esboço conforme descrito no passo