Nas questões de 1) à 8) deve-se fazer os seguintes procedimentos:
(i) Encontrar intervalos de Crescimento e decrescimento;
(ii) Encontrar concavidade e pontos de inflexão;
(iii) Calcular lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x);
(iv) Calcular, caso existam, os limites laterais lim x p^+ f(x) e lim x p^- f(x), onde p notin Df ;
(v) Esboçar o gráfico.
f(x)=e^2 x-e^x

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=e^2x-e^x,
os seguintes itens:
(i) intervalos de crescimento e de decrescimento;
(ii) concavidade e pontos de inflexão;
(iii) limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x);
(iv) limites laterais em pontos fora do domínio (se existirem);
(v) esboço do gráfico.
O conteúdo principal é derivadas de primeira e segunda ordem, análise de sinais e limites de funções exponenciais.

Passo 2

Para achar intervalos de crescimento/decrescimento, calculamos
f'(x)=ddxl(e^2x-e^xr)=2e^2x-e^x=e^x,(2e^x-1)
Resolvendo f'(x)=0: e^x>0 sempre, logo 2e^x-1=0
e^x=tfrac12Longrightarrow x=-ln2
Analisando o sinal de f'(x):
– Para x<-ln2, e^x<tfrac12 Rightarrow 2e^x-1<0 Rightarrow f'(x)<0.
– Para x>-ln2, e^x>tfrac12 Rightarrow 2e^x-1>0 Rightarrow f'(x)>0.
Logo
f decresce em (-infty,-ln2).
f cresce em (-ln2,+infty).
Em x=-ln2 há um mínimo local, cujo valor é
f(-ln2)=e^-2ln2-e^-ln2=2^-2-2^-1=tfrac14-tfrac12=-tfrac14

Passo 3

Para concavidade e inflexão, obtemos
f''(x)=ddx(2e^2x-e^x)=4e^2x-e^x=e^x,(4e^x-1)
Resolvendo f''(x)=0: 4e^x-1=0 Rightarrow e^x=tfrac14 Rightarrow x=-ln4.
– Se x<-ln4, então e^x<tfrac14 Rightarrow 4e^x-1<0 Rightarrow f''(x)<0: concavidade para baixo.
– Se x>-ln4, então e^x>tfrac14 Rightarrow 4e^x-1>0 Rightarrow f''(x)>0: concavidade para cima.
Portanto há ponto de inflexão em x=-ln4 com
f(-ln4)=e^-2ln4-e^-ln4=4^-2-4^-1=tfrac116-tfrac14=-tfrac316

Passo 4

Como o domínio de f é todo R, não há pontos pnotin Df para limites laterais. Calculamos apenas os limites no infinito:
limxto+inftyf(x)=limxto+infty(e^2x-e^x)=+infty,
limxto-inftyf(x)=limxto-infty(e^2x-e^x)=0-0=0

Passo 5

Esboço do gráfico (forma qualitativa):
– Decresce até x=-ln2, atinge mínimo -tfrac14, depois cresce.
– É côncavo para baixo até x=-ln4, côncavo para cima depois, com inflexão em l(-ln4,-tfrac316r).
– Passa por (0,0) (única raiz).
– Tende a 0 quando xto-infty e a +infty quando xto+infty.

Resposta

(i) Crescimento em (-ln2,+infty); decrescimento em (-infty,-ln2).
(ii) Concavidade para baixo em (-infty,-ln4), para cima em (-ln4,+infty); ponto de inflexão em l(-ln4,-tfrac316r).
(iii) limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=0.
(iv) Não há limites laterais em pontos fora do domínio.
(v) Esboço conforme descrito no passo 5.

Exercícios relacionados