Questões gerais misturando todas as propriedades:
\log _{3}\left(\frac{27^{2}}{9}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{3}\left(\frac{27^{2}}{9}\right).
Informações dadas: a expressão dentro do log é uma fração com numerador \,27^{2}\, e denominador \,9.
Pergunta: qual é o valor numérico de \log_{3}\left(\frac{27^{2}}{9}\right)?

Passo 2

Vou transformar os números envolvidos em potências da mesma base para simplificar. Isso porque 27 e 9 podem ser escritos como potências de 3 — trocar para a mesma base costuma deixar logaritmos bem fáceis de resolver.

Passo 3

Reescrever 27 e 9 como potências de 3:
27 = 3^{3}
9 = 3^{2}
Explicação rápida: 3^{3}=3\cdot3\cdot3=27 e 3^{2}=3\cdot3=9.

Passo 4

Calcular 27^{2} usando a representação em potência:
27^{2} = \left(3^{3}\right)^{2}.
Usamos a regra de potências \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}. Aplicando aqui:
\left(3^{3}\right)^{2} = 3^{3\cdot 2} = 3^{6}.

Passo 5

Agora substituímos no quociente:
\frac{27^{2}}{9} = \frac{3^{6}}{3^{2}}.
Usamos a regra de potências para divisão \dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}. Aplicando:
\frac{3^{6}}{3^{2}} = 3^{6-2} = 3^{4}.

Passo 6

Temos então
\log_{3}\left(\frac{27^{2}}{9}\right) = \log_{3}\left(3^{4}\right).
Agora aplicamos a propriedade fundamental do logaritmo que diz que \log_{b}\left(b^{k}\right)=k, porque logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Logo:
\log_{3}\left(3^{4}\right)=4.

Passo 7

(Segunda via — reforço didático) Podemos também resolver usando propriedades dos logaritmos sem primeiro simplificar a fração: use que \log_{b}\left(\frac{A}{B}\right)=\log_{b}A-\log_{b}B e \log_{b}\left(A^{c}\right)=c\log_{b}A. Aplicando:
\log_{3}\left(\frac{27^{2}}{9}\right)=\log_{3}\left(27^{2}\right)-\log_{3}9=2\log_{3}27-\log_{3}9.
Como \log_{3}27=\log_{3}\left(3^{3}\right)=3 e \log_{3}9=\log_{3}\left(3^{2}\right)=2, então
2\cdot 3 - 2 = 6-2 = 4,
mesmo resultado — é um bom jeito de checar que não houve erro.

Passo 8

Conferindo: ambas as abordagens (transformar em potências da mesma base ou usar propriedades dos logaritmos) chegam a \,4. Excelente — já era!

Resposta

4

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