Questões referentes ao Cap. 29 do livro Fundamentos de Física - Halliday - 8á edição
Usando a lei de Biot-Savart, demonstre a equação 29-4.

Passo 1

O enunciado pede para derivar, a partir da lei de Biot–Savart, a expressão do módulo do campo magnético produzido por um fio retilíneo, muito longo, que transporta corrente I, num ponto a distância perpendicular R desse fio. O conteúdo é magnetostática, e vamos usar a forma diferencial da lei de Biot–Savart:
dvec B = mu04pi,I,dvecell times hat rr^2,

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o fio está alinhado ao eixo z e passa pela origem. Seja P o ponto onde calculamos o campo, com posição vec rP = R,hat x. Um elemento de corrente fica em vec r = 0,hat x+0,hat y+z,hat z, de comprimento dvecell = dz,hat z. O vetor que vai do elemento até P é
vec R = vec rP - vec r = R,hat x - z,hat z, r=|vec R|=raizR^2+z^2, hat r=vec Rr,

Passo 3

Calculemos o produto vetorial que aparece em Biot–Savart:
dvecelltimeshat r =dz,hat ztimesR,hat x - z,hat zr =R,dzr,(hat ztimeshat x) =R,dzr,hat y
pois hat ztimeshat x=hat y. Assim,
dvec B =mu04pi,I,(R,dz/r),hat yr^2 =mu0 I4pi,R,dzr^3,hat y,

Passo 4

Agora integramos z de -infty a +infty:
vec B =integral-infty^inftydvec B =mu0 I,R4pi,hat y integral-infty^inftydz(R^2+z^2)^3/2
Usamos a integral padrão
integral-infty^inftydz(R^2+z^2)^3/2=2R^2,
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vec B =mu0 I,R4pi,hat y;2R^2 =mu0 I2pi R,hat y
A direção hat y confirma o sentido circular dado pela regra da mão direita.

Resposta

A equação 29-4 fica então
B = mu0 I2pi R,
tangencial ao círculo de raio R em torno do fio, conforme a regra da mão direita.

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