As questões seguintes devem ser resolvidas utilizando a técnica de indução matemática:
07. Prove que 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 para todo inteiro n não negativo. Dica: Neste exercício, o caso base deve ser P(0).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1
para todo inteiro n não negativo. Informações dadas: a soma é finita, começa em 1 (que é 2^{0}) e vai até 2^{n}. A dica do enunciado diz que o caso base a verificar é P(0). A tarefa é demonstrar que essa igualdade vale para todo n\in\{0,1,2,\dots\}.

Passo 2

Vou usar a estrutura clássica de prova por indução (vou explicar direitinho pra você não se perder):
  • Primeiro mostramos o caso base: verificamos que a igualdade é verdadeira para n=0.
  • Depois assumimos que ela é verdadeira para um inteiro arbitrário k\ge 0 (isso é a hipótese de indução).
  • A partir dessa hipótese, mostramos que a igualdade também vale para n=k+1 (passo indutivo).
    Se conseguirmos esses dois blocos (base e passo indutivo), concluímos que a fórmula vale para todo n\ge 0. É a lógica "se funciona no 0 e se funcionar em k então funciona em k+1, logo funciona para todo n".

Passo 3

Caso base P(0). Avaliamos os dois lados da igualdade para n=0.
O lado esquerdo é a soma até 2^{0}, ou seja 1.
O lado direito é 2^{0+1}-1. Calculando:
2^{0+1}-1 = 2^{1}-1 = 2-1 = 1.
Como o lado esquerdo e o lado direito dão 1, a igualdade é verdadeira para n=0. Portanto P(0) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para um inteiro arbitrário k\ge 0 a afirmação P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que
1+2+2^{2}+\ldots+2^{k} = 2^{k+1}-1.
Essa suposição é apenas temporária: vamos usá-la para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar P(k+1). Começamos escrevendo a soma até 2^{k+1} como a soma até 2^{k} mais o termo 2^{k+1}:
1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}+2^{k+1}.
Pelo que assumimos na hipótese de indução, a soma até 2^{k} vale 2^{k+1}-1. Substituindo:
(2^{k+1}-1) + 2^{k+1}.
Agora fazemos a álgebra passo a passo: somando os dois termos 2^{k+1} temos 2^{k+1}+2^{k+1}=2\cdot 2^{k+1}. Então
(2^{k+1}-1) + 2^{k+1} = 2\cdot 2^{k+1} - 1.
Usamos a regra dos expoentes que diz 2\cdot 2^{k+1}=2^{1}\cdot 2^{k+1}=2^{(1+k+1)}=2^{k+2}. Portanto
2\cdot 2^{k+1} - 1 = 2^{k+2}-1.
E 2^{k+2}-1 é exatamente a expressão do lado direito da igualdade quando substituímos n=k+1, pois 2^{(k+1)+1}-1=2^{k+2}-1. Assim mostramos que, assumindo P(k), resulta P(k+1).

Passo 6

Conclusão por indução. Verificamos o caso base P(0) e provamos que P(k)\Rightarrow P(k+1) para todo k\ge 0. Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1
vale para todo inteiro n\ge 0.
Dica prática para a prova na hora da prova: escreva claramente (1) o caso base com cálculo explícito, (2) a hipótese de indução indicada com um k genérico, (3) a soma até k+1 como “soma até k mais o termo novo”, (4) substitua pela hipótese e faça a álgebra mostrando o uso da propriedade dos expoentes. Assim o avaliador vê todo o raciocínio e dá o ponto com confiança.

Resposta

1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1

Exercícios relacionados