As questões seguintes devem ser resolvidas utilizando a técnica de indução matemática:
07. Prove que
para todo inteiro
não negativo. Dica: Neste exercício, o caso base deve ser
.
07. Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
para todo inteiro
não negativo. Informações dadas: a soma é finita, começa em
(que é
) e vai até
. A dica do enunciado diz que o caso base a verificar é
. A tarefa é demonstrar que essa igualdade vale para todo
.
Passo 2
Vou usar a estrutura clássica de prova por indução (vou explicar direitinho pra você não se perder):
- Primeiro mostramos o caso base: verificamos que a igualdade é verdadeira para
. - Depois assumimos que ela é verdadeira para um inteiro arbitrário
(isso é a hipótese de indução). - A partir dessa hipótese, mostramos que a igualdade também vale para
(passo indutivo).
Se conseguirmos esses dois blocos (base e passo indutivo), concluímos que a fórmula vale para todo. É a lógica "se funciona no 0 e se funcionar em então funciona em , logo funciona para todo ".
Passo 3
Caso base
. Avaliamos os dois lados da igualdade para
.
O lado esquerdo é a soma até , ou seja
.
O lado direito é . Calculando:
O lado esquerdo é a soma até
O lado direito é
Como o lado esquerdo e o lado direito dão
, a igualdade é verdadeira para
. Portanto
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para um inteiro arbitrário
a afirmação
seja verdadeira, isto é, suponha que
Essa suposição é apenas temporária: vamos usá-la para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar
. Começamos escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo
:
Pelo que assumimos na hipótese de indução, a soma até
vale
. Substituindo:
Agora fazemos a álgebra passo a passo: somando os dois termos
temos
. Então
Usamos a regra dos expoentes que diz
. Portanto
E
é exatamente a expressão do lado direito da igualdade quando substituímos
, pois
. Assim mostramos que, assumindo
, resulta
.
Passo 6
Conclusão por indução. Verificamos o caso base
e provamos que
para todo
. Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
vale para todo inteiro
.
Dica prática para a prova na hora da prova: escreva claramente (1) o caso base com cálculo explícito, (2) a hipótese de indução indicada com um
genérico, (3) a soma até
como “soma até
mais o termo novo”, (4) substitua pela hipótese e faça a álgebra mostrando o uso da propriedade dos expoentes. Assim o avaliador vê todo o raciocínio e dá o ponto com confiança.