Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
a) sumn=1^+infty(-1)^n+1 sen(pin)
b) sumn=1^+infty(-1)^n 1raize^n
c) sumn=1^+infty(-1)^n ln nn
d) sumn=1^+infty(-1)^n n^2+3(2 n-5)^2
e) sumn=1^+infty(-1)^n 1+4^n1+3^n
f) sumn=1^+infty 2^ sen ne^n
g) sumn=1^+infty(-1)^n+1 n^2+12 n^2+1
h) sumn=1^+infty cos (n pi)n^3
i) sumn=2^+infty (-1)^n(ln n)^n
j) sumn=1^+infty(-1)^n 1ln (e^n+e^-n)
k) sumn=1^+infty(-1)^n(1-cos 2n)

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar, para cada série numerada de (a) até (k), se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O tema principal envolve testes de convergência de séries alternantes, critério de Leibniz, teste da razão, comparação assintótica e convergência absoluta.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar o que significam esses termos:
– Uma série sum an é absolutamente convergente se sum |an| converge.
– É condicionalmente convergente se sum an converge, mas sum |an| diverge.
– É divergente se sum an não converge.

Passo 3

Analisando a) sumn=1^infty(-1)^n+1sinl(tfracpinr)
– Para grande n, sin(pi/n)simpi/n. Os termos são alternantes, decrescem em módulo e tendem a zero, logo pela regra de Leibniz a série converge.
– Em módulo temos sin(pi/n)simpi/n, e sumpi/n diverge (harmônica). Logo não é absolutamente convergente.
→ Convergência condicional.

Passo 4

Analisando b) sumn=1^infty(-1)^n1raize^n=sum(-1)^n e^-n/2
– Em módulo fica e^-n/2, uma progressão geométrica de razão e^-1/2<1, que converge.
→ Converge absolutamente.

Passo 5

Analisando c) sumn=1^infty(-1)^nln nn
– Para n grande, ln n/n decresce e tende a zero, então pela regra de Leibniz converge.
sum(ln n)/n diverge pelo teste integral (ou comparando com 1/n^1-varepsilon).
→ Convergência condicional.

Passo 6

Analisando d) sumn=1^infty(-1)^nn^2+3(2n-5)^2
– Para grande n, o termo geral em módulo (n^2+3)/(2n-5)^2to1/4neq0. Como os termos não tendem a zero, a série diverge.
→ Divergente.

Passo 7

Analisando e) sumn=1^infty(-1)^n1+4^n1+3^n
– Para grande n, (1+4^n)/(1+3^n)sim(4/3)^n, que cresce exponencialmente. Logo o termo não vai a zero.
→ Divergente.

Passo 8

Analisando f) sumn=1^infty2^sin ne^n
– Note que 2^sin n fica entre 2^-1 e 2^1. Então
0<2^sin ne^n<=2e^n,
e sum2/e^n é geométrica convergente.
→ Converge absolutamente.

Passo 9

Analisando g) sumn=1^infty(-1)^n+1n^2+12n^2+1
– Para grande n, (n^2+1)/(2n^2+1)to1/2neq0. Então os termos não tendem a zero e a série diverge.
→ Divergente.

Passo 10

Analisando h) sumn=1^inftycos(npi)n^3
– Como cos(npi)=(-1)^n, isso é sum(-1)^n/n^3.
– Em módulo é 1/n^3, série-p com p=3>1, converge.
→ Converge absolutamente.

Passo 11

Analisando i) sumn=2^infty(-1)^n(ln n)^n
– Em módulo temos 1/(ln n)^n. Use o teste da razão:
an+1an=1/(ln(n+1))^n+11/(ln n)^n= rac(ln n)^n(ln(n+1))^n+1to0<1
Logo sum1/(ln n)^n converge rapidamente.
→ Converge absolutamente.

Passo 12

Analisando j) sumn=1^infty(-1)^n1ln(e^n+e^-n)
– Note que ln(e^n+e^-n)=n+ln(1+e^-2n)sim n. Então o termo em módulo é 1/n. É alternante, decrescente e tende a zero, logo converge (Leibniz).
– Mas sum1/ln(e^n+e^-n)simsum1/n diverge.
→ Convergência condicional.

Passo 13

Analisando k) sumn=1^infty(-1)^nl(1-costfrac2nr)
– Para grande n, 1-cos(2/n)sim2/n^2. Em módulo isso é da ordem 1/n^2, série-p com p=2>1, então sum|an| converge.
→ Converge absolutamente.

Resposta

a) condicionalmente convergente
b) absolutamente convergente
c) condicionalmente convergente
d) divergente
e) divergente
f) absolutamente convergente
g) divergente
h) absolutamente convergente
i) absolutamente convergente
j) condicionalmente convergente
k) absolutamente convergente

Exercícios relacionados