Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Passo 1
O enunciado pede para a gente classificar, para cada série numerada de (a) até (k), se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O tema principal envolve testes de convergência de séries alternantes, critério de Leibniz, teste da razão, comparação assintótica e convergência absoluta.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar o que significam esses termos:
– Uma série é absolutamente convergente se
converge.
– É condicionalmente convergente se converge, mas
diverge.
– É divergente se não converge.
– Uma série
– É condicionalmente convergente se
– É divergente se
Passo 3
Analisando a)
– Para grande ,
. Os termos são alternantes, decrescem em módulo e tendem a zero, logo pela regra de Leibniz a série converge.
– Em módulo temos , e
diverge (harmônica). Logo não é absolutamente convergente.
→ Convergência condicional.
– Para grande
– Em módulo temos
→ Convergência condicional.
Passo 4
Analisando b)
– Em módulo fica , uma progressão geométrica de razão
, que converge.
→ Converge absolutamente.
– Em módulo fica
→ Converge absolutamente.
Passo 5
Analisando c)
– Para grande,
decresce e tende a zero, então pela regra de Leibniz converge.
– diverge pelo teste integral (ou comparando com
).
→ Convergência condicional.
– Para
–
→ Convergência condicional.
Passo 6
Analisando d)
– Para grande , o termo geral em módulo
. Como os termos não tendem a zero, a série diverge.
→ Divergente.
– Para grande
→ Divergente.
Passo 7
Analisando e)
– Para grande ,
, que cresce exponencialmente. Logo o termo não vai a zero.
→ Divergente.
– Para grande
→ Divergente.
Passo 8
Analisando f)
– Note que fica entre
e
. Então
– Note que
e
é geométrica convergente.
→ Converge absolutamente.
→ Converge absolutamente.
Passo 9
Analisando g)
– Para grande ,
. Então os termos não tendem a zero e a série diverge.
→ Divergente.
– Para grande
→ Divergente.
Passo 10
Analisando h)
– Como , isso é
.
– Em módulo é , série-p com
, converge.
→ Converge absolutamente.
– Como
– Em módulo é
→ Converge absolutamente.
Passo 11
Analisando i)
– Em módulo temos . Use o teste da razão:
– Em módulo temos
Logo
converge rapidamente.
→ Converge absolutamente.
→ Converge absolutamente.
Passo 12
Analisando j)
– Note que . Então o termo em módulo é
. É alternante, decrescente e tende a zero, logo converge (Leibniz).
– Mas diverge.
→ Convergência condicional.
– Note que
– Mas
→ Convergência condicional.
Passo 13
Analisando k)
– Para grande ,
. Em módulo isso é da ordem
, série-p com
, então
converge.
→ Converge absolutamente.
– Para grande
→ Converge absolutamente.
Resposta
a) condicionalmente convergente
b) absolutamente convergente
c) condicionalmente convergente
d) divergente
e) divergente
f) absolutamente convergente
g) divergente
h) absolutamente convergente
i) absolutamente convergente
j) condicionalmente convergente
k) absolutamente convergente
b) absolutamente convergente
c) condicionalmente convergente
d) divergente
e) divergente
f) absolutamente convergente
g) divergente
h) absolutamente convergente
i) absolutamente convergente
j) condicionalmente convergente
k) absolutamente convergente