Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região R e o de método a ser empregado no cálculo.
Considere a região do primeiro quadrante limitada pela curva y=cos x^2 e pelos eixos coordenados rotacionando em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo . A região está no primeiro quadrante e é limitada pela curva e pelos eixos coordenados. Para fazer isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar a região em torno do eixo . Imagine que você tem a curva desenhada no primeiro quadrante (onde e são positivos). Quando giramos essa área ao redor do eixo , eleva uma forma tridimensional cujo volume queremos calcular.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir a região em fatias finas, perpendicular ao eixo de rotação ( V = pi integrala^b [R(y)]^2 , dy ), e calcular o volume de cada disco. Depois, somamos todos esses volumes para obter o volume total.
A fórmula do método dos discos é:
Onde:
  • é o raio do disco em cada altura .
  • e são os limites de integração em .

Passo 4

Primeiro, precisamos expressar cos(x^2) = y x^2 = arccos(y) x = raizarccos(y) em termos de para usar na fórmula. Sabemos que . Vamos resolver para :
Então, o raio dos discos é .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante e ymáx = cos(0) = 1 , o valor máximo de ocorre quando :
á
E o valor de tende a zero à medida que aumenta. Portanto, nossos limites de integração vão de a .

Passo 6

Vamos substituir V = pi integral0^1 [raizarccos(y)]^2 , dy V = pi integral0^1 arccos(y) , dy na fórmula do volume:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral u = arccos(y) du = -1raiz1 - y^2 , dy dv = dy v = y . Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
integral arccos(y) , dy = y arccos(y) - integral y ( -1raiz1 - y^2 ) dy = y arccos(y) + integral yraiz1 - y^2 , dy
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 8

A segunda integral integral yraiz1 - y^2 , dy = -12 integral 1raizu , du = -12 cdot 2 raizu + C = -raiz1 - y^2 + C pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar , então , ou seja, .
Substituindo:

Passo 9

Voltando à integral original:
integral arccos(y) , dy = y arccos(y) - raiz1 - y^2 + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
V = pi [ y arccos(y) - raiz1 - y^2 ]0^1

Passo 10

Calculando nos limites:
Para 1 cdot arccos(1) - raiz1 - 1^2 = 1 cdot 0 - 0 = 0 :
0 cdot arccos(0) - raiz1 - 0^2 = 0 - 1 = -1
Para 0 - (-1) = 1 :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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