Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região
e o de método a ser empregado no cálculo.
Considere a região do primeiro quadrante limitada pela curva
e pelos eixos coordenados rotacionando em torno do eixo y.
Considere a região do primeiro quadrante limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região
em torno do eixo
. A região
está no primeiro quadrante e é limitada pela curva
e pelos eixos coordenados. Para fazer isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar a região
em torno do eixo
. Imagine que você tem a curva
desenhada no primeiro quadrante (onde
e
são positivos). Quando giramos essa área ao redor do eixo
, eleva uma forma tridimensional cujo volume queremos calcular.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve dividir a região em fatias finas, perpendicular ao eixo de rotação (
), e calcular o volume de cada disco. Depois, somamos todos esses volumes para obter o volume total.
A fórmula do método dos discos é:
Onde:
-
é o raio do disco em cada altura . -
e são os limites de integração em .
Passo 4
Primeiro, precisamos expressar
em termos de
para usar na fórmula. Sabemos que
. Vamos resolver para
:
Então, o raio
dos discos é
.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante e
, o valor máximo de
ocorre quando
:
E o valor de
tende a zero à medida que
aumenta. Portanto, nossos limites de integração vão de
a
.
Passo 6
Vamos substituir
na fórmula do volume:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 8
A segunda integral
pode ser resolvida por substituição. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Substituindo:
Passo 9
Voltando à integral original:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Passo 10
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.