Para as questões 3, 4 e 5 a seguir, considere a função
f(x)=\frac{-3 x+2}{x^{2}}
e as suas derivadas f^{\prime}(x)=\frac{3 x-4}{x^{3}} e f^{\prime \prime}(x)=\frac{-6 x+12}{x^{4}}\
Sobre o crescimento e decrescimento da função f é CORRETO afirmar:
(a) é crescente nos intervalos (-\infty, 0) e \left[\frac{4}{3},+\infty\right), é decrescente no intervalo \left(0, \frac{4}{3}\right].
(b) é crescente no intervalo ( 0, \frac{4}{3} ], é decrescente nos intervalos (-\infty, 0) e \left[\frac{4}{3},+\infty\right)
(c) é crescente nos intervalos \left(0, \frac{4}{3}\right] e \left[\frac{4}{3},+\infty\right), é decrescente no intervalo (-\infty, 0).
(d) é crescente nos intervalos (-\infty, 0) e \left(0, \frac{4}{3}\right], é decrescente no intervalo \left[\frac{4}{3},+\infty\right).
(e) é crescente em \mathbb{R}-\{0\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{-3x+2}{x^{2}}
e suas derivadas
f'(x)=\frac{3x-4}{x^{3}},\qquad f''(x)=\frac{-6x+12}{x^{4}}.
A pergunta é: em quais intervalos f é crescente e em quais é decrescente?
Informações que temos e que são relevantes:
  • O domínio natural é \mathbb{R}-\{0\} porque há divisão por x^{2}.
  • A derivada primeira f'(x) é a ferramenta que relaciona sinal (positivo/negativo) com crescimento/decrescimento.
  • Devemos analisar pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) é indefinida (esses são pontos críticos).

Passo 2

Regra prática (explicando devagar): se em um intervalo f'(x)>0 para todo x nesse intervalo, então f é crescente nesse intervalo (a inclinação da reta tangente é positiva). Se f'(x)<0 em um intervalo, f é decrescente nesse intervalo. Se f'(x)=0 num ponto isolado, esse ponto pode ser um máximo/minimo local ou ponto de inflexão; mas para monotonicidade interessa o sinal de f' em torno do ponto. Lembre-se: não podemos incluir x=0 porque f não está definida aí.

Passo 3

Encontrar pontos críticos de f':
f'(x)=\frac{3x-4}{x^{3}}.
  • Zeros de f' ocorrem quando o numerador é zero: 3x-4=0\Rightarrow x=\frac{4}{3}.
  • f' é indefinida quando o denominador é zero: x^{3}=0\Rightarrow x=0 (já sabemos que 0 não pertence ao domínio).
    Portanto, os intervalos naturais para testar o sinal de f' são
(-\infty,0),\quad (0,\tfrac{4}{3}),\quad (\tfrac{4}{3},\infty).

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x)=\dfrac{3x-4}{x^{3}} em cada intervalo, olhando separadamente para numerador e denominador:
  • Numerador 3x-4:
    • Para x<\tfrac{4}{3} tem sinal negativo.
    • Para x>\tfrac{4}{3} tem sinal positivo.
    • Em x=\tfrac{4}{3} é zero.
  • Denominador x^{3}:
    • Para x<0 tem sinal negativo.
    • Para x>0 tem sinal positivo.
    • Em x=0 é zero (fora do domínio).
Agora combine sinais por intervalo:
  1. Para x\in(-\infty,0): numerador 3x-4<0 e denominador x^{3}<0. Logo
f'(x)=\frac{3x-4}{x^{3}}>0
(negativo dividido por negativo = positivo). Conclusão: f é crescente em (-\infty,0).
  1. Para x\in(0,\tfrac{4}{3}): numerador 3x-4<0 e denominador x^{3}>0. Logo
f'(x)=\frac{3x-4}{x^{3}}<0.
Conclusão: f é decrescente em (0,\tfrac{4}{3}).
  1. Para x\in(\tfrac{4}{3},\infty): numerador 3x-4>0 e denominador x^{3}>0. Logo
f'(x)=\frac{3x-4}{x^{3}}>0.
Conclusão: f é crescente em (\tfrac{4}{3},\infty).

Passo 5

Tratar os pontos extremos dos intervalos (inclusões/exclusões):
  • x=0 não pertence ao domínio, portanto não pode estar em nenhum intervalo de monotonicidade.
  • x=\tfrac{4}{3} é ponto onde f'(x)=0. Incluir um único ponto onde a derivada é zero no extremo de um intervalo monotônico não quebra a monotonicidade do intervalo que se aproxima desse ponto. Assim é correto afirmar que f é decrescente em (0,\tfrac{4}{3}] (porque para todo x com 0<x<\tfrac{4}{3} tem f'(x)<0 e ao incluir o extremo x=\tfrac{4}{3} a propriedade de decrescer ao longo do intervalo até esse ponto é preservada) e que f é crescente em [\tfrac{4}{3},\infty) (análogo raciocínio para a direita).
Portanto a classificação final de monotonicidade é:
  • crescente em (-\infty,0) e em [\tfrac{4}{3},\infty);
  • decrescente em (0,\tfrac{4}{3}].

Resposta

(a)

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