Para as questões 3, 4 e 5 a seguir, considere a função
e as suas derivadas
e
Sobre o crescimento e decrescimento da função
é CORRETO afirmar:
(a) é crescente nos intervalos
e
, é decrescente no intervalo
.
(b) é crescente no intervalo (
], é decrescente nos intervalos
e
(c) é crescente nos intervalos
e
, é decrescente no intervalo
.
(d) é crescente nos intervalos
e
, é decrescente no intervalo
.
(e) é crescente em
.
Sobre o crescimento e decrescimento da função
(a) é crescente nos intervalos
(b) é crescente no intervalo (
(c) é crescente nos intervalos
(d) é crescente nos intervalos
(e) é crescente em
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e suas derivadas
A pergunta é: em quais intervalos
é crescente e em quais é decrescente?
Informações que temos e que são relevantes:
Informações que temos e que são relevantes:
- O domínio natural é
porque há divisão por . - A derivada primeira
é a ferramenta que relaciona sinal (positivo/negativo) com crescimento/decrescimento. - Devemos analisar pontos onde
ou é indefinida (esses são pontos críticos).
Passo 2
Regra prática (explicando devagar): se em um intervalo
para todo
nesse intervalo, então
é crescente nesse intervalo (a inclinação da reta tangente é positiva). Se
em um intervalo,
é decrescente nesse intervalo. Se
num ponto isolado, esse ponto pode ser um máximo/minimo local ou ponto de inflexão; mas para monotonicidade interessa o sinal de
em torno do ponto. Lembre-se: não podemos incluir
porque
não está definida aí.
Passo 3
Encontrar pontos críticos de
:
- Zeros de
ocorrem quando o numerador é zero: -
é indefinida quando o denominador é zero: (já sabemos que não pertence ao domínio).
Portanto, os intervalos naturais para testar o sinal desão
Passo 4
Analisar o sinal de
em cada intervalo, olhando separadamente para numerador e denominador:
-
Numerador
: - Para
tem sinal negativo. - Para
tem sinal positivo. - Em
é zero.
- Para
-
Denominador
: - Para
tem sinal negativo. - Para
tem sinal positivo. - Em
é zero (fora do domínio).
- Para
Agora combine sinais por intervalo:
- Para
: numerador e denominador . Logo
(negativo dividido por negativo = positivo). Conclusão:
é crescente em
.
- Para
: numerador e denominador . Logo
Conclusão:
é decrescente em
.
- Para
: numerador e denominador . Logo
Conclusão:
é crescente em
.
Passo 5
Tratar os pontos extremos dos intervalos (inclusões/exclusões):
-
não pertence ao domínio, portanto não pode estar em nenhum intervalo de monotonicidade. -
é ponto onde . Incluir um único ponto onde a derivada é zero no extremo de um intervalo monotônico não quebra a monotonicidade do intervalo que se aproxima desse ponto. Assim é correto afirmar que é decrescente em (porque para todo com tem e ao incluir o extremo a propriedade de decrescer ao longo do intervalo até esse ponto é preservada) e que é crescente em (análogo raciocínio para a direita).
Portanto a classificação final de monotonicidade é:
- crescente em
e em ; - decrescente em
.
Resposta
(a)