Para as questões 3, 4 e 5 a seguir, considere a função
f(x)=\frac{-3 x+2}{x^{2}}
e as suas derivadas f^{\prime}(x)=\frac{3 x-4}{x^{3}} e f^{\prime \prime}(x)=\frac{-6 x+12}{x^{4}}\
Sobre as concavidades do gráfico de f é CORRETO afirmar:
(a) é côncavo para cima no intervalo (-\infty, 2], é côncavo para baixo no intervalo [2,+\infty).
(b) é côncavo para baixo nos intervalos (-\infty, 0) e (0,2], é côncavo para cima no intervalo [2,+\infty).
(c) é côncavo para cima nos intervalos (-\infty, 0) e [2,+\infty), é côncavo para baixo no intervalo (0,2].
(d) é côncavo para baixo no intervalo (-\infty, 2], é côncavo para cima no intervalo [2,+\infty).
(e) é côncavo para cima nos intervalos (-\infty, 0) e ( 0,2 ], é côncavo para baixo no intervalo [2,+\infty).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{-3x+2}{x^{2}}
e as derivadas fornecidas
f'(x)=\frac{3x-4}{x^{3}},\qquad f''(x)=\frac{-6x+12}{x^{4}}.
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • O domínio de f é todos os reais com x\neq 0 (porque há x^{2} no denominador).
  • A pergunta é: qual alternativa (a)–(e) descreve corretamente as concavidades do gráfico de f.

Passo 2

O que significa “concavidade” em termos de derivadas (uma mini-aula rápida e prática).
  • Se a segunda derivada satisfaz f''(x)>0 num intervalo, então o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo (parece uma “tigela”).
  • Se f''(x)<0 num intervalo, então o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo (parece uma “colina”).
  • Se f''(x)=0 num ponto e o sinal de f'' troca ao atravessá-lo, esse ponto é um ponto de inflexão (a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa).
    Isso é útil porque basta estudar o sinal de f''(x) para determinar concavidades.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de f''(x) para estudar seu sinal:
f''(x)=\frac{-6x+12}{x^{4}}=\frac{6(2-x)}{x^{4}}.

Passo 4

Análise do denominador e do numerador separadamente:
  • O denominador x^{4} é sempre positivo para todo x\neq 0. Logo ele não muda o sinal de f''(x); só elimina x=0 da discussão (lembrando que x=0 não pertence ao domínio).
  • O sinal de f''(x) vem do numerador 6(2-x).

Passo 5

Determine onde o numerador é positivo, zero ou negativo:
6(2-x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad 2-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<2.
6(2-x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=2.
6(2-x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad x>2.
Como o denominador é positivo (para x\neq0), concluímos:
  • f''(x)>0 quando x<2 e x\neq 0.
  • f''(2)=0.
  • f''(x)<0 quando x>2.

Passo 6

Agora juntamos com o domínio ( x\neq 0) para listar intervalos de concavidade:
  • Para x\in(-\infty,0): tem-se x<2, logo f''(x)>0. Portanto f é côncava para cima em (-\infty,0).
  • Para x\in(0,2): tem-se x<2, logo f''(x)>0. Portanto f é côncava para cima em (0,2).
  • Para x\in(2,\infty): tem-se x>2, logo f''(x)<0. Portanto f é côncava para baixo em (2,\infty).
  • Em x=2 a segunda derivada é zero e o sinal de f'' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), então x=2 é um ponto de inflexão (o gráfico muda de côncavo para cima para côncavo para baixo). Note que x=0 não faz parte do domínio, então não se fala em concavidade nele.
Se quiser ver a coordenada do ponto de inflexão: calcule f(2):
f(2)=\frac{-3\cdot2+2}{2^{2}}=\frac{-6+2}{4}=\frac{-4}{4}=-1,
logo há um ponto de inflexão em (2,-1).

Passo 7

Compare com as alternativas dadas:
  • O resultado correto (resumindo) é: côncavo para cima em (-\infty,0) e em (0,2); côncavo para baixo em (2,\infty); e x=2 é ponto de inflexão.
  • A alternativa que corresponde a essa classificação (considerando que as alternativas que usam intervalos fechados em 2 estão apenas incluindo o ponto de inflexão na borda) e que corretamente exclui 0 do domínio é a alternativa (e).

Resposta

(e)

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