Para as questões 3, 4 e 5 a seguir, considere a função
e as suas derivadas
e
Sobre as concavidades do gráfico de
é CORRETO afirmar:
(a) é côncavo para cima no intervalo
, é côncavo para baixo no intervalo
.
(b) é côncavo para baixo nos intervalos
e
, é côncavo para cima no intervalo
.
(c) é côncavo para cima nos intervalos
e
, é côncavo para baixo no intervalo
.
(d) é côncavo para baixo no intervalo
, é côncavo para cima no intervalo
.
(e) é côncavo para cima nos intervalos
e ( 0,2 ], é côncavo para baixo no intervalo
.
Sobre as concavidades do gráfico de
(a) é côncavo para cima no intervalo
(b) é côncavo para baixo nos intervalos
(c) é côncavo para cima nos intervalos
(d) é côncavo para baixo no intervalo
(e) é côncavo para cima nos intervalos
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e as derivadas fornecidas
Observações importantes extraídas do enunciado:
- O domínio de
é todos os reais com (porque há no denominador). - A pergunta é: qual alternativa (a)–(e) descreve corretamente as concavidades do gráfico de
.
Passo 2
O que significa “concavidade” em termos de derivadas (uma mini-aula rápida e prática).
- Se a segunda derivada satisfaz
num intervalo, então o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo (parece uma “tigela”). - Se
num intervalo, então o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo (parece uma “colina”). - Se
num ponto e o sinal de troca ao atravessá-lo, esse ponto é um ponto de inflexão (a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa).
Isso é útil porque basta estudar o sinal depara determinar concavidades.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de
para estudar seu sinal:
Passo 4
Análise do denominador e do numerador separadamente:
- O denominador
é sempre positivo para todo . Logo ele não muda o sinal de ; só elimina da discussão (lembrando que não pertence ao domínio). - O sinal de
vem do numerador .
Passo 5
Determine onde o numerador é positivo, zero ou negativo:
Como o denominador é positivo (para
), concluímos:
-
quando e . -
. -
quando .
Passo 6
Agora juntamos com o domínio (
) para listar intervalos de concavidade:
- Para
: tem-se , logo . Portanto é côncava para cima em . - Para
: tem-se , logo . Portanto é côncava para cima em . - Para
: tem-se , logo . Portanto é côncava para baixo em . - Em
a segunda derivada é zero e o sinal de muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita), então é um ponto de inflexão (o gráfico muda de côncavo para cima para côncavo para baixo). Note que não faz parte do domínio, então não se fala em concavidade nele.
Se quiser ver a coordenada do ponto de inflexão: calcule
:
logo há um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Compare com as alternativas dadas:
- O resultado correto (resumindo) é: côncavo para cima em
e em ; côncavo para baixo em ; e é ponto de inflexão. - A alternativa que corresponde a essa classificação (considerando que as alternativas que usam intervalos fechados em
estão apenas incluindo o ponto de inflexão na borda) e que corretamente exclui do domínio é a alternativa (e).
Resposta
(e)