O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y=f(x) definida implicitamente pela equação
x^{2}+x y+y^{2}=7
no ponto (1,2) é:
(a) -1
(b) 0
(c) 6
(d) \frac{4}{3}
(e) -\frac{4}{5}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implicita da curva e um ponto onde queremos a inclinação da reta tangente. Informações e pedido claros:
  • Equação que define y=f(x) implicitamente:
x^{2}+x y+y^{2}=7
  • Ponto onde queremos a inclinação da reta tangente: (1,2).
  • O que o problema pede: o coeficiente angular (a derivada \dfrac{dy}{dx} em (1,2)), e há cinco alternativas possíveis: (a) -1, (b) 0, (c) 6, (d) \dfrac{4}{3}, (e) -\dfrac{4}{5}.

Passo 2

Conceito e estratégia (passo-a-passo didático): para achar o coeficiente angular da reta tangente a uma curva dada implicitamente por uma equação envolvendo x e y, usamos diferenciação implícita. Explico as regras que vou usar:
  • A derivada de y em relação a x é \dfrac{dy}{dx}; essa derivada representa a inclinação da reta tangente.
  • Ao derivar termos que envolvem y, devemos lembrar que y é função de x (isto é, y=y(x)). Por isso usamos a regra da cadeia: a derivada de y^{2} é 2y\cdot\dfrac{dy}{dx}.
  • Para um produto x\cdot y(x) usamos a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=y(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
Aplicando com u'=1 e v'=\dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr)=1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}=y + x\frac{dy}{dx}.
  • A derivada de uma constante (aqui 7) é 0.
Com essas regras, diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x.

Passo 3

Diferenciação termo a termo da equação
x^{2}+x y+y^{2}=7.
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Derivada de x y é, pela regra do produto, y + x\frac{dy}{dx}.
  • Derivada de y^{2} é, pela regra da cadeia, 2y\frac{dy}{dx}.
  • Derivada do lado direito 7 é 0.
Somando tudo:
2x + \bigl(y + x\frac{dy}{dx}\bigr) + 2y\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 4

Isolar \dfrac{dy}{dx} (organizar termos e resolver):
2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0.
Agrupando os termos que têm \dfrac{dy}{dx}:
x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = -(2x + y).
Fatorando \dfrac{dy}{dx}:
\bigl(x + 2y\bigr)\frac{dy}{dx} = -(2x + y).
Logo a fórmula geral para a derivada implícita é
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}.
Agora avaliamos essa expressão no ponto (1,2). Substituindo x=1 e y=2:
  • Numerador: 2x + y = 2\cdot 1 + 2 = 4.
  • Denominador: x + 2y = 1 + 2\cdot 2 = 5.
Portanto
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)} = -\frac{4}{5}.

Passo 5

Interpretação final e comparação com as alternativas:
  • O coeficiente angular da reta tangente em (1,2) é o valor calculado -\dfrac{4}{5}.
  • Comparando com as alternativas, isto corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) -\dfrac{4}{5}

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