Sobre as assíntotas do gráfico da função
é CORRETO afirmar:
(a)
e
são assíntotas verticais,
é assíntota horizontal e não existe assíntota inclinada.
(b) Não existe assíntota vertical,
é a assíntota horizontal e
é assíntota inclinada.
(c) Não existe assíntota vertical,
é assíntota horizontal e não existe assíntota inclinada.
(d) Não existe assíntota vertical,
é assíntota horizontal e
é assíntota inclinada.
(e)
é assíntota vertical,
assíntota horizontal
(a)
(b) Não existe assíntota vertical,
(c) Não existe assíntota vertical,
(d) Não existe assíntota vertical,
(e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se escolha qual alternativa está correta sobre as assíntotas do gráfico de
. As perguntas implícitas são:
- Existem assíntotas verticais? Se sim, quais?
- Existe assíntota horizontal? Se sim, qual é a reta?
- Existe assíntota inclinada (oblíqua)? Se sim, qual é a reta?
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma função racional com numerador
e denominador .
Passo 2
O que é uma assíntota vertical (de forma prática para racionais) e como verificar aqui.
Definição prática: uma assíntota vertical em
ocorre quando a função tende a
ao nos aproximarmos de
. Para funções racionais típicas, isso costuma acontecer em raízes reais do denominador que não são canceladas por fatores do numerador.
Aplicação ao caso: verificar zeros do denominador.
Resolver:
ou seja, as soluções são complexas e não há raiz real. Outra observação simples: para todo
vale
portanto o denominador nunca é zero para
real.
Conclusão deste passo: não existem pontos reais onde o denominador se anula, logo não há comportamento de divergir para
por causa do denominador — portanto não existem assíntotas verticais.
Passo 3
O que é uma assíntota horizontal e como verificar aqui.
Definição prática: uma reta horizontal
é assíntota horizontal se
Para racionais, comparar os graus (polinomiais) do numerador e do denominador: se os graus são iguais, o limite em infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Na função dada, o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau
). Portanto a assíntota horizontal, se existir, será a razão dos coeficientes dos termos
: coeficiente do numerador é
, do denominador é
. Vamos calcular o limite para confirmar, dividindo numerador e denominador por
:
Como
e
quando
, o limite vale
Portanto
é assíntota horizontal.
Passo 4
O que é uma assíntota inclinada (oblíqua) e por que aqui ela não existe.
Definição prática: uma assíntota oblíqua existe quando, ao ir para
ou
, a função aproxima-se de uma reta
com
. Para funções racionais, isso pode acontecer quando o grau do numerador é exatamente um maior que o grau do denominador; aí faz-se a divisão polinomial e o quociente (uma reta) é a assíntota.
No nosso caso o grau do numerador é
e o do denominador também é
. A diferença de graus é
, não é
. Ainda podemos confirmar fazendo a divisão polinomial curta:
Dividindo por
, o quociente é
e o resto é
(porque
e subtraindo obtemos
). Assim
Dividindo
O termo de resto
tende a
quando
, o que confirma a assíntota horizontal
. Não há quociente linear (com coeficiente de
não nulo), então não existe assíntota inclinada.
Passo 5
Resumo das conclusões (sem escolher a alternativa ainda):
- Não existem assíntotas verticais (denominador nunca zera em
). - Existe assíntota horizontal
. - Não existe assíntota inclinada.
Resposta
(c)