Sobre as assíntotas do gráfico da função
f(x)=\frac{3 x^{2}-2 x+5}{x^{2}+4}
é CORRETO afirmar:
(a) x=-2 e x=2 são assíntotas verticais, y=3 é assíntota horizontal e não existe assíntota inclinada.
(b) Não existe assíntota vertical, y=3 é a assíntota horizontal e y=3 x é assíntota inclinada.
(c) Não existe assíntota vertical, y=3 é assíntota horizontal e não existe assíntota inclinada.
(d) Não existe assíntota vertical, y=0 é assíntota horizontal e y=3 x é assíntota inclinada.
(e) x=0 é assíntota vertical, y=3 assíntota horizontal

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3 x^{2}-2 x+5}{x^{2}+4}
e pede que se escolha qual alternativa está correta sobre as assíntotas do gráfico de f. As perguntas implícitas são:
  • Existem assíntotas verticais? Se sim, quais?
  • Existe assíntota horizontal? Se sim, qual é a reta?
  • Existe assíntota inclinada (oblíqua)? Se sim, qual é a reta?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma função racional com numerador 3 x^{2}-2 x+5 e denominador x^{2}+4.

Passo 2

O que é uma assíntota vertical (de forma prática para racionais) e como verificar aqui.
Definição prática: uma assíntota vertical em x=a ocorre quando a função tende a \pm\infty ao nos aproximarmos de a. Para funções racionais típicas, isso costuma acontecer em raízes reais do denominador que não são canceladas por fatores do numerador.
Aplicação ao caso: verificar zeros do denominador.
x^{2}+4=0
Resolver:
x^{2}=-4\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i,
ou seja, as soluções são complexas e não há raiz real. Outra observação simples: para todo x\in\mathbb{R} vale
x^{2}\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^{2}+4\ge 4>0,
portanto o denominador nunca é zero para x real.
Conclusão deste passo: não existem pontos reais onde o denominador se anula, logo não há comportamento de divergir para \pm\infty por causa do denominador — portanto não existem assíntotas verticais.

Passo 3

O que é uma assíntota horizontal e como verificar aqui.
Definição prática: uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal se
\lim_{x\to\infty} f(x)=L\quad\text{e/ou}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
Para racionais, comparar os graus (polinomiais) do numerador e do denominador: se os graus são iguais, o limite em infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Na função dada, o numerador e o denominador têm o mesmo grau (grau 2). Portanto a assíntota horizontal, se existir, será a razão dos coeficientes dos termos x^{2}: coeficiente do numerador é 3, do denominador é 1. Vamos calcular o limite para confirmar, dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3- \dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}}{1+\dfrac{4}{x^{2}}}.
Como \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to\pm\infty, o limite vale
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\frac{3-0+0}{1+0}=3.
Portanto y=3 é assíntota horizontal.

Passo 4

O que é uma assíntota inclinada (oblíqua) e por que aqui ela não existe.
Definição prática: uma assíntota oblíqua existe quando, ao ir para +\infty ou -\infty, a função aproxima-se de uma reta y=mx+b com m\neq 0. Para funções racionais, isso pode acontecer quando o grau do numerador é exatamente um maior que o grau do denominador; aí faz-se a divisão polinomial e o quociente (uma reta) é a assíntota.
No nosso caso o grau do numerador é 2 e o do denominador também é 2. A diferença de graus é 0, não é 1. Ainda podemos confirmar fazendo a divisão polinomial curta:
Dividindo 3x^{2}-2x+5 por x^{2}+4, o quociente é 3 e o resto é -2x-7 (porque 3(x^{2}+4)=3x^{2}+12 e subtraindo obtemos -2x-7). Assim
f(x)=3+\frac{-2x-7}{x^{2}+4}.
O termo de resto \dfrac{-2x-7}{x^{2}+4} tende a 0 quando x\to\pm\infty, o que confirma a assíntota horizontal y=3. Não há quociente linear (com coeficiente de x não nulo), então não existe assíntota inclinada.

Passo 5

Resumo das conclusões (sem escolher a alternativa ainda):
  • Não existem assíntotas verticais (denominador nunca zera em \mathbb{R}).
  • Existe assíntota horizontal y=3.
  • Não existe assíntota inclinada.

Resposta

(c)

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