Questões sobre Análise Combinatória e Probabilidade
(Variável Aleatória Contínua) O tempo de vida (em anos) de um equipamento segue uma distribuição exponencial com média de 5 anos. Qual a probabilidade de o equipamento durar mais de 7 anos?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida X de um equipamento é uma variável aleatória contínua com distribuição exponencial de média 5 anos. Queremos calcular a probabilidade
P(X > 7)
Para isso, vamos usar a definição da distribuição exponencial e a relação entre a média e o parâmetro de taxa lambda.

Passo 2

Na distribuição exponencial, a densidade é
f(x) = lambda e^-lambda x, x>=0,
e a média satisfaz
E[X] = 1lambda
Como E[X]=5, temos
lambda = 15

Passo 3

A função de sobrevivência (probabilidade de exceder um tempo t) na distribuição exponencial é
P(X > t) = e^-lambda t
Substituindo t=7 e lambda = 1/5, vem
P(X > 7) = e^-15cdot 7 = e^-75

Passo 4

Basta, então, calcular
e^-75 = e^-1,4approx 0,2466

Resposta

A probabilidade de o equipamento durar mais de 7 anos é
P(X>7)=e^-7/5approx0,2466

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