24.13b Calcule a entropia de ativação da colisão entre duas partículas sem estrutura, a 500 K , sendo M=78 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} e \sigma=0,62 \mathrm{~nm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a entropia de ativação da colisão entre duas partículas sem estrutura a T=500\\ \mathrm{K}, sabendo que a massa molar é M=78\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} e a seção de choque é \sigma=0{,}62\\ \mathrm{nm^2}.
Conteúdo: teoria de colisões para obter a constante de taxa bimolecular k_{\rm col}, e equação de Eyring para extrair \Delta S^\ddagger:
k_{\rm col} = \sigma\,\sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,\mu}}\;\frac{N_A}{1000},
\Delta S^\ddagger = R\,\ln\!\biggl(\frac{k_{\rm col}\,h}{k_B\,T}\biggr).

Passo 2

Calcular a massa reduzida \mu. Cada partícula tem massa por molécula
m = \frac{M}{N_A} = \frac{78\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}}\\ \mathrm{kg},
então
\mu = \frac{m}{2} = \frac{78\times10^{-3}}{2\,N_A}\approx6{,}48\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Determinar a velocidade relativa média
v_{\rm rel} = \sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,\mu}} = \sqrt{\frac{8\cdot1{,}381\times10^{-23}\cdot500}{\pi\cdot6{,}48\times10^{-26}}} \approx521\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a constante de colisão no estado gasoso expressa em \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}. Convertendo \sigma=0{,}62\\ \mathrm{nm^2}=0{,}62\times10^{-18}\\ \mathrm{m^2}:
k_{\rm col} = \sigma\,v_{\rm rel}\;\frac{N_A}{1000} = 0{,}62\times10^{-18}\times521\times\frac{6{,}022\times10^{23}}{1000} \approx1{,}95\times10^{5}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}.

Passo 5

Usar a equação de Eyring para \Delta S^\ddagger, assumindo \Delta H^\ddagger\approx0 e fator de transmissão \kappa=1:
\Delta S^\ddagger = R\,\ln\!\biggl(\frac{k_{\rm col}\,h}{k_B\,T}\biggr).
Substituindo h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, k_B=1{,}381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}, T=500\\ \mathrm{K} e R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
\frac{k_{\rm col}\,h}{k_B\,T} = \frac{1{,}95\times10^{5}\times6{,}626\times10^{-34}}{1{,}381\times10^{-23}\times500} \approx1{,}86\times10^{-8},
\Delta S^\ddagger = 8{,}314 \,\ln(1{,}86\times10^{-8}) \approx-148\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Resposta

\displaystyle \Delta S^\ddagger \approx -148\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}

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