24.2b A teoria da colisão envolve o conhecimento da fração de colisões moleculares que ocorrem com a energia cinética no mínimo igual a E_{a}, ao longo da reta da colisāo. Qual é esta fração quando (a) E_{4}=15 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}, (b) E_{4}=150 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} a (i) 300 Ke (ii) 800 K ?

Passo 1

O enunciado pede a fração de colisões moleculares cuja energia cinética é pelo menos igual a E_{a}. Isso pertence à teoria de colisão e ao uso da distribuição de Maxwell–Boltzmann. Para resolver, vamos usar a expressão da probabilidade de uma partícula ter energia ≥ E_{a} e precisar de:
– O valor de E_{a} (em J mo l^{-}¹).
– A constante dos gases ideais R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
– A temperatura T (em K).

Passo 2

Da teoria da colisão, a fração f de moléculas com energia ≥ E_{a} é dada por
f = \exp\!\bigl(-\tfrac{E_{a}}{R\,T}\bigr).
Aqui, \exp(-E_{a}/RT) é a cauda da distribuição de Maxwell–Boltzmann acima de E_{a}.

Passo 3

Calcular para o caso (a) E_{a}=15\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=15000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
(i) Para T=300\\ \mathrm{K}:
\frac{E_{a}}{R\,T} = \frac{15000}{8,314\times300} \approx6{,}012 \quad\Longrightarrow\quad f = e^{-6{,}012}\approx2{,}45\times10^{-3}.
(ii) Para T=800\\ \mathrm{K}:
\frac{E_{a}}{R\,T} = \frac{15000}{8,314\times800} \approx2{,}255 \quad\Longrightarrow\quad f = e^{-2{,}255}\approx1{,}05\times10^{-1}.

Passo 4

Calcular para o caso (b) E_{a}=150\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=150000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
(i) Para T=300\\ \mathrm{K}:
\frac{E_{a}}{R\,T} = \frac{150000}{8,314\times300} \approx60{,}12 \quad\Longrightarrow\quad f = e^{-60{,}12}\approx7{,}8\times10^{-27}.
(ii) Para T=800\\ \mathrm{K}:
\frac{E_{a}}{R\,T} = \frac{150000}{8,314\times800} \approx22{,}54 \quad\Longrightarrow\quad f = e^{-22{,}54}\approx1{,}6\times10^{-10}.

Resposta

(a)(i) 2,45\times10^{-3}
(a)(ii) 1,05\times10^{-1}
(b)(i) 7,8\times10^{-27}
(b)(ii) 1,6\times10^{-10}

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