24.14b O fator pré-exponencial da decomposição do ozônio em fase gasosa, em pressões baixas, é de 2,3 \times 10^{15} \mathrm{dm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} e a sua energia de ativação é de 30,0 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. Estime (a) a entropia de ativaçāo, (b) a entalpia de ativaçāo e (c) a energia de Gibbs de ativação a 298 K .

Passo 1

O enunciado dá o fator pré-exponencial da decomposição do ozônio em fase gasosa em pressões baixas
A = 2,3\times10^{15}\;\mathrm{dm^3\,mol^{-1}\,s^{-1}}
e a energia de ativação
E_a = 30{,}0\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}
pede (a) a entropia de ativação \Delta S^\ddagger, (b) a entalpia de ativação \Delta H^\ddagger e (c) a energia livre de Gibbs de ativação \Delta G^\ddagger a T=298\;\mathrm K.
Conteúdo: relação entre Arrhenius e teoria do estado de transição (Eyring).

Passo 2

Pela teoria do estado de transição (Eyring), para uma reação de segunda ordem com padrão c^\circ=1\;\mathrm{mol\,dm^{-3}}, o fator pré-exponencial satisfaz
A \;=\;\frac{k_B\,T}{h\,c^\circ}\,\exp\!\Bigl(\frac{\Delta S^\ddagger}{R}\Bigr)
como c^\circ=1\;\mathrm{mol\,dm^{-3}} basta usar
\Delta S^\ddagger \;=\;R\;\ln\!\Bigl(\frac{A\,h}{k_B\,T}\Bigr).
Além disso, a entalpia de ativação liga-se à energia de ativação por
\Delta H^\ddagger \;=\;E_a - R\,T,
e a energia livre de Gibbs de ativação é
\Delta G^\ddagger \;=\;\Delta H^\ddagger - T\,\Delta S^\ddagger.

Passo 3

Cálculo de \Delta S^\ddagger. Usamos
\Delta S^\ddagger = R\ln\!\Bigl(\frac{A\,h}{k_B\,T}\Bigr),
com
A = 2{,}3\times10^{15}\;\mathrm{s^{-1}},\quad h = 6{,}626\times10^{-34}\;\mathrm{J\,s},\quad k_B = 1{,}381\times10^{-23}\;\mathrm{J\,K^{-1}},\quad T = 298\;\mathrm K.
Calculamos o argumento do logaritmo:
\frac{A\,h}{k_B\,T} = \frac{2{,}3\times10^{15}\times6{,}626\times10^{-34}}{1{,}381\times10^{-23}\times298} \approx 3{,}70\times10^{2},
\ln(3{,}70\times10^2)\approx5{,}915,
logo
\Delta S^\ddagger = (8{,}314\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}})\times5{,}915 \approx49{,}2\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 4

Cálculo de \Delta H^\ddagger.
\Delta H^\ddagger = E_a - R\,T = 30\,000\;\mathrm{J\,mol^{-1}} - (8{,}314\times298)\;\mathrm{J\,mol^{-1}} \approx30\,000 - 2\,478 =27\,522\;\mathrm{J\,mol^{-1}} \approx27{,}5\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 5

Cálculo de \Delta G^\ddagger a 298\;\mathrm K:
\Delta G^\ddagger = \Delta H^\ddagger - T\,\Delta S^\ddagger =27\,522\;\mathrm{J\,mol^{-1}} - 298\;\mathrm K\times49{,}2\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}
=27\,522 - 14\,656 =12\,866\;\mathrm{J\,mol^{-1}} \approx12{,}9\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Resposta

(a) \Delta S^\ddagger \approx 49{,}2\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}
(b) \Delta H^\ddagger \approx 27{,}5\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}
(c) \Delta G^\ddagger \approx 12{,}9\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}

Exercícios de Livros Relacionados