18.9‡ Pelos dados da Tabela 18.1, calcule a polarização molar, a permissividade relativa eo índice de refração do metanol a 20^{\circ} \mathrm{C}. A densidade do líquido, nesta temperatura, é 0,7914 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-1}.
Tabela 18.1: Dados da permissividade relativa do metanol
\boldsymbol{\theta} \boldsymbol{1}^{\circ} \mathrm{C} -185 -170 -150 -140 -110 -80 -50 -20 0 20
\boldsymbol{\varepsilon}, 3.2 3.6 4,0 5.1 67 57 4 43 38 34

Passo 1

O enunciado pede, para o metanol a 20^\circ\text{C} com densidade \rho=0,7914\\ \mathrm{g\,cm^{-3}} e permissividade relativa \varepsilon_r retirada da Tabela 18.1, que calculemos
– a polarização molar P_m,
– a permissividade relativa \varepsilon_r,
– o índice de refração n.
Vamos usar a equação de Clausius–Mossotti para a polarização molar e, em seguida, a relação de Lorentz–Lorenz para obter n.

Passo 2

Determinar a massa molar do metanol \ce{CH3OH}:
M = 12{,}011 + 4\times1{,}008 + 16{,}000 = 32{,}042\\ \mathrm{g/mol}\approx 32{,}04\\ \mathrm{g/mol}.
Da Tabela 18.1, em 20^\circ\text{C} temos
\varepsilon_r = 3{,}2.

Passo 3

A polarização molar P_m (em \mathrm{cm^3/mol}) é dada por
P_m \;=\;\frac{\varepsilon_r -1}{\varepsilon_r +2}\,\frac{M}{\rho}.
Calculando passo a passo:
\frac{\varepsilon_r -1}{\varepsilon_r +2} =\frac{3{,}2-1}{3{,}2+2} =\frac{2{,}2}{5{,}2} \approx0{,}4231,
\frac{M}{\rho} =\frac{32{,}04}{0,7914} \approx40{,}51\\ \mathrm{cm^3/mol},
P_m \approx0{,}4231\times40{,}51 \approx17{,}14\\ \mathrm{cm^3/mol}.

Passo 4

Para o índice de refração n assume­mos que a mesma polarização molar vale para a luz visível, ou seja,
P_m =\frac{n^2-1}{n^2+2}\,\frac{M}{\rho}.
Logo
\frac{n^2-1}{n^2+2} =\frac{P_m}{M/\rho} =\frac{17{,}14}{40{,}51} \approx0{,}4231.
Resolvendo para n^2:
n^2-1 =0{,}4231\,(n^2+2) =0{,}4231\,n^2+0{,}8462,
n^2\bigl(1-0{,}4231\bigr)=1+0{,}8462 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}5769\,n^2=1{,}8462 \quad\Longrightarrow\quad n^2\approx3{,}2
n\approx\sqrt{3{,}2}\approx1{,}79.

Resposta

Polarização molar: P_m\approx17{,}14\\ \mathrm{cm^3/mol}
Permissividade relativa: \varepsilon_r=3{,}2
Índice de refração: n\approx1{,}79

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