18.7 \ddagger F. Luo, G.C. MeBane, O. Kim, C.F. Giese e W.R. Gentry [J. Chem. Phys. 98, 3564 (1993)] publicaram observaçōes experimentais do complexo \mathrm{He}_{2}, espècie química que durante muito tempo ficou inobservada. As observações se fizeram em temperaturas nas vizinhanças de 1 mK , o que é compatível com as estimativas numéricas que sugerem que, para o \mathrm{He}_{2}, o h c D_{c} é cerca de 1,51 \times 10^{-2)} J, o hc D_{0} é cerca de 2 \times 10^{-26} \mathrm{~J}, e R é cerca de 297 pm . (a) Determine os paràmetros de Lennard-Jones, r_{0} \mathrm{e} \varepsilon, e plote o potencial de Lennard-Jones para a interação He-He. (b) Plote o potencial de Morse, sendo a=5,79 \times 10^{10} \mathrm{~m}^{-1}.

Passo 1

O enunciado trata da molécula diatômica fraca \mathrm{He}_2, cujo poço de potencial tem profundidade (energia de dissociação) \displaystyle D_e\approx2\times10^{-26}\text{ J}
e distância de equilíbrio \displaystyle r_0\approx297\text{ pm}.
Pede-se (a) os parâmetros de Lennard-Jones, \varepsilon e r_0 (e o raio \sigma subjacente) e um gráfico qualitativo do potencial \displaystyle V_{\rm LJ}(r), e (b) o gráfico do potencial de Morse com parâmetro \displaystyle a=5{,}79\times10^{10}\,\mathrm m^{-1}.

Passo 2

O potencial de Lennard-Jones é definido por
V_{\rm LJ}(r)=4\,\varepsilon\Bigl[\bigl(\tfrac{\sigma}{r}\bigr)^{12}-\bigl(\tfrac{\sigma}{r}\bigr)^6\Bigr],
onde o mínimo de energia ocorre em r=r_0 satisfazendo
r_0=2^{1/6}\,\sigma.
Além disso, a profundidade do poço é \displaystyle V_{\rm LJ}(r_0)=-\varepsilon,
logo igual à energia de dissociação D_e.

Passo 3

Como r_0=297\text{ pm}=2{,}97\times10^{-10}\,\mathrm m e \varepsilon=D_e=2\times10^{-26}\,\mathrm J, obtemos
\sigma=\frac{r_0}{2^{1/6}} =\frac{2{,}97\times10^{-10}}{2^{1/6}} \approx2{,}65\times10^{-10}\,\mathrm m.

Passo 4

O potencial de Lennard-Jones fica então
V_{\rm LJ}(r) =4\,(2\times10^{-26})\, \Biggl[\Bigl(\frac{2{,}65\times10^{-10}}{r}\Bigr)^{12} -\Bigl(\frac{2{,}65\times10^{-10}}{r}\Bigr)^{6}\Biggr].
Em um gráfico qualitativo de V_{\rm LJ}(r) contra r (por exemplo de 2{,}0 Å a 8{,}0 Å) vê-se forte repulsão para r<r_0, mínimo -2\times10^{-26} J em r_0=2{,}97 Å e decaimento assintótico a zero por baixo para r\gg r_0.

Passo 5

O potencial de Morse é dado por
V_{\rm M}(r) =D_e\Bigl[\bigl(1-e^{-a(r-r_0)}\bigr)^2-1\Bigr],
onde D_e=2\times10^{-26}\,\mathrm J, r_0=2{,}97\times10^{-10}\,\mathrm m e a=5{,}79\times10^{10}\,\mathrm m^{-1}.
O gráfico de V_{\rm M}(r) tem formato de poço assimétrico, com mínimo -D_e em r_0 e decaimento exponencial para r>r_0 e repulsão exponencial para r<r_0.

Resposta

Parâmetros de Lennard-Jones: \displaystyle r_0=2{,}97\times10^{-10}\,\mathrm m,\quad \sigma=2{,}65\times10^{-10}\,\mathrm m,\quad \varepsilon=2\times10^{-26}\,\mathrm J.

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