24.9b Duas espécies neutras, A e B, com os diàmetros de 442 pm e 885 pm , respectivamente, reagem conforme A+B \rightarrow P, num processo controlado pela difusão, num solvente com a viscosidade de 1,27 \mathrm{cP}, a 20^{\circ} \mathrm{C}. Estime a velocidade inicial \mathrm{d}[\mathrm{P}] / \mathrm{d} t se a concentração inicial de A for de 0,200 \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3} e a de B for de 0,150 \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3}.

Passo 1

O enunciado trata de uma reação A + B \to P controlada por difusão num solvente à 20^\circ\mathrm{C} (viscosidade \eta=1,27\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}). As partículas são neutras, com diâmetros d_A=442 pm e d_B=885 pm, e as concentrações iniciais são [A]_0=0,200, \mathrm{mol\,dm^{-3}}, [B]_0=0,150, \mathrm{mol\,dm^{-3}}. Vamos usar a equação de Stokes–Einstein para obter D_A e D_B e então a equação de Smoluchowski para o coeficiente cinético difusional k, finalmente calculando \mathrm{d}[P]/\mathrm{d}t=k[A][B].

Passo 2

Calcular os raios e coeficientes de difusão pela Stokes–Einstein,
r_A = \frac{442\\ \text{pm}}{2} = 221\\ \text{pm} = 2,21\times10^{-10}\\ \mathrm{m},\quad r_B = \frac{885\\ \text{pm}}{2} = 442{,}5\\ \text{pm} = 4,425\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
D_A = \frac{k_B T}{6\pi\eta\,r_A} = \frac{1,38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}\times293\,\mathrm{K}} {6\pi\times1,27\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}\times2,21\times10^{-10}\,\mathrm{m}} \approx7,65\times10^{-10}\,\mathrm{m^2/s},
D_B = \frac{k_B T}{6\pi\eta\,r_B} \approx\frac{1,38\times10^{-23}\times293}{6\pi\times1,27\times10^{-3}\times4,425\times10^{-10}} \approx3,82\times10^{-10}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Determinar o coeficiente difusional de reação pela equação de Smoluchowski,
k_{\rm diff} =4\pi\,(r_A+r_B)\,(D_A+D_B) =4\pi\times6,635\times10^{-10}\,\mathrm{m}\times1,1467\times10^{-9}\,\mathrm{m^2/s} \approx9,57\times10^{-18}\,\mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Converter para unidades usuais \mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}} usando N_A=6,022\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} e 1\,\mathrm{m^3}=1000\,\mathrm{L}:
k = k_{\rm diff}\times1000\times N_A \approx9,57\times10^{-18}\times1000\times6,022\times10^{23} \approx5,76\times10^{9}\,\mathrm{L\,mol^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 5

Calcular a velocidade inicial
\frac{\mathrm{d}[P]}{\mathrm{d}t} = k\,[A]_0\,[B]_0 \approx5,76\times10^{9}\times0,200\times0,150 =1,73\times10^{8}\,\mathrm{mol\,dm^{-3}\,s^{-1}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{d}[P]}{\mathrm{d}t}\approx1,7\times10^{8}\,\mathrm{mol\,dm^{-3}\,s^{-1}}.

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