8.14 Prepare um modelo de buckminsterfulereno, \mathrm{C}_{60}. Referindo-se à tabela de caracteres, verifique se esta molécula tem simetria I_{h}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o fulereno \mathrm{C}_{60} (geometricamente um icosaedro truncado) pertence ao grupo de simetria I_{h}. Vamos usar teoria de grupos pontuais: em particular, vamos listar as operações de simetria presentes em \mathrm{C}_{60}, contar quantas há em cada classe e comparar com as classes do grupo I_{h} na tabela de caracteres.

Passo 2

Descrevendo a geometria do fulereno \mathrm{C}_{60}: ele tem a forma de um icosaedro truncado, com 12 pentágonos e 20 hexágonos. As operações de simetria possíveis são aquelas de um icosaedro (grupo I) acrescidas da inversão no centro ( i), formando o grupo completo I_{h}=I\times C_{i}.

Passo 3

Identificamos e contamos as operações de simetria de \mathrm{C}_{60}:
  • Identidade: 1 operação E.
  • Eixos pentagonais ( C_{5} e C_{5}^2): existem 6 eixos que passam pelos centros de pentágonos opostos, cada um gera duas rotações não triviais, totalizando 12 de 72^\circ ( C_{5}) e 12 de 144^\circ ( C_{5}^2).
  • Eixos trigonais ( C_{3} e C_{3}^2): 10 eixos pelos centros de hexágonos opostos, cada um gera rotações de 120^\circ e 240^\circ, totalizando 20 de cada tipo.
  • Eixos binários ( C_{2}): 15 eixos que passam pelos pontos médios de arestas opostas, cada um gera uma rotação de 180^\circ, totalizando 15.
  • Inversão no centro: 1 operação i.
  • Eixos improprios S_{10} (inversão seguida de C_{5}): 12 operações de tipo S_{10} e 12 de S_{10}^3.
  • Eixos improprios S_{6} (inversão seguida de C_{3}): 20 operações de tipo S_{6}.
  • Planos de reflexão \sigma: 15 planos que contêm eixos C_{2}, totalizando 15 reflexões.
Resumindo as 120 operações:
\begin{aligned} &E:1,\quad 12\,C_{5},\quad 12\,C_{5}^2,\quad 20\,C_{3},\quad 20\,C_{3}^2\,(=\!20\,C_{3}),\quad 15\,C_{2},\\\ &i:1,\quad 12\,S_{10},\quad 12\,S_{10}^3,\quad 20\,S_{6},\quad 15\,\sigma~. \end{aligned}

Passo 4

Agora olhamos a tabela de caracteres do grupo I_{h}. As classes e números de operações são exatamente:
  • E: 1
  • 12\,C_{5}, 12\,C_{5}^2
  • 20\,C_{3}
  • 15\,C_{2}
  • i: 1
  • 12\,S_{10}, 12\,S_{10}^3
  • 20\,S_{6}
  • 15\,\sigma

Passo 5

Como as operações de simetria e suas quantidades em \mathrm{C}_{60} coincidem exatamente com as classes do grupo I_{h} na tabela de caracteres, concluímos que o fulereno \mathrm{C}_{60} tem simetria do grupo pontual I_{h}.

Resposta

O fulereno \mathrm{C}_{60} pertence ao grupo de simetria I_{h}.

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