8.14 Prepare um modelo de buckminsterfulereno,
. Referindo-se à tabela de caracteres, verifique se esta molécula tem simetria
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o fulereno
(geometricamente um icosaedro truncado) pertence ao grupo de simetria
. Vamos usar teoria de grupos pontuais: em particular, vamos listar as operações de simetria presentes em
, contar quantas há em cada classe e comparar com as classes do grupo
na tabela de caracteres.
Passo 2
Descrevendo a geometria do fulereno
: ele tem a forma de um icosaedro truncado, com 12 pentágonos e 20 hexágonos. As operações de simetria possíveis são aquelas de um icosaedro (grupo
) acrescidas da inversão no centro (
), formando o grupo completo
.
Passo 3
Identificamos e contamos as operações de simetria de
:
- Identidade: 1 operação
. - Eixos pentagonais (
e ): existem 6 eixos que passam pelos centros de pentágonos opostos, cada um gera duas rotações não triviais, totalizando 12 de ( ) e 12 de ( ). - Eixos trigonais (
e ): 10 eixos pelos centros de hexágonos opostos, cada um gera rotações de e , totalizando 20 de cada tipo. - Eixos binários (
): 15 eixos que passam pelos pontos médios de arestas opostas, cada um gera uma rotação de , totalizando 15. - Inversão no centro: 1 operação
. - Eixos improprios
(inversão seguida de ): 12 operações de tipo e 12 de . - Eixos improprios
(inversão seguida de ): 20 operações de tipo . - Planos de reflexão
: 15 planos que contêm eixos , totalizando 15 reflexões.
Resumindo as 120 operações:
Passo 4
Agora olhamos a tabela de caracteres do grupo
. As classes e números de operações são exatamente:
-
: 1 -
, -
-
-
: 1 -
, -
-
Passo 5
Como as operações de simetria e suas quantidades em
coincidem exatamente com as classes do grupo
na tabela de caracteres, concluímos que o fulereno
tem simetria do grupo pontual
.
Resposta
O fulereno
pertence ao grupo de simetria
.