Determine U(x, s)=Lu(x, t). (Aviso: Não inverta U ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma equação diferencial parcial (EDP) com algumas condições iniciais e de contorno. O objetivo é encontrar a transformada de Laplace de $ u(x, t) $, que vamos chamar de $ U(x, s) $.
Conteúdo envolvido:
Equações diferenciais parciais (EDPs)
Transformada de Laplace
Condições de contorno e iniciais
Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace na EDP e lidar com as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial. A equação dada é:
a partial^2 upartial x^2 - b partial upartial x - partial upartial t = 0
Aplicando a transformada de Laplace em relação a $ t $, lembrando que:
t
E dada a condição inicial $ u(x, 0) = 0 $, temos:
L partial upartial t = s U(x, s) - u(x, 0)
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação inteira:
a partial^2 Upartial x^2 - b partial Upartial x - s U(x, s) = 0
Isso nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) em termos de $ x $.
Passo 4
Vamos reescrever a EDO para facilitar a resolução:
a d^2 Ud x^2 - b d Ud x - s U = 0
Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 5
Para resolver essa EDO, encontramos a equação característica:
a r^2 - b r - s = 0
Resolvendo para $ r $:
r
Vamos chamar as soluções de $ r_1 $ e $ r_2 $.
Passo 6
A solução geral da EDO é:
U(x, s) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que determinaremos usando as condições de contorno.
Passo 7
Aplicamos a condição $ u \rightarrow 0 $ quando $ x \rightarrow \infty $. Para que $ U(x, s) $ tenda a zero, os expoentes devem ser negativos. Portanto, descartamos quaisquer soluções que cresçam exponencialmente com $ x $, o que nos leva a $ C_{2} = 0 $.
Assim, a solução simplifica para:
u 0
Passo 8
Agora, aplicamos a condição de contorno $ u(0, t) = 1 $. Transforma de Laplace dessa condição é $ U(0, s) = \mathcal{L}{1} = \frac{1}{s} $.
Substituindo $ x = 0 $ na solução:
u(0, t) = 1
Passo 9
Então, substituindo $ C_{1} $ na solução geral:
C1
Onde $ r_{1} = \frac{b + \sqrt{b^{2} + 4 a s}}{2 a} $.