Quinta Questão (2,0pts): Seja
a solução do PVI
(a) Explique porque
para todo
.
(b) Explique porque
é decrescente.
(b) Explique porque
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:
- A função desconhecida
é solução do problema de valor inicial (PVI)
- Perguntas do enunciado:
(a) Mostrar quepara todo no domínio de .
(b) Mostrar queé decrescente (isto é, estritamente decrescente) no seu domínio.
Passo 2
Identificar pontos de equilíbrio (soluções constantes) e explicar o que são:
- Para um EDO do tipo
(autônoma), pontos de equilíbrio são valores constantes tais que . Nessas soluções para todo . - Aqui
. Resolver dá
logo existem duas soluções constantes:
e
.
- Essas constantes são relevantes porque, se a solução
alguma vez fosse igual a 1 ou 3 num ponto, poderia coincidir localmente com uma solução constante — isso será usado mais adiante.
Passo 3
Analisar o sinal de
conforme a posição de
em relação a
e
:
- Se
, então e , produto . Logo quando (a solução sobe). - Se
, então e , produto . Logo quando (a solução desce). - Se
, então e , produto . Logo quando (a solução sobe). - Resumindo: nas três regiões
, e o sinal de é constante e conhecido.
Passo 4
Usar continuidade e unicidade para mostrar que a solução não pode atingir os níveis
ou
:
- Argumento por contradição para, digamos, o valor
. Suponha que exista tal que . - Considere a função constante
. Ela satisfaz a EDO porque substituindo dá , e iguala em . - Pelo teorema de existência e unicidade para EDOs ordinárias (condições locais satisfeitas aqui porque
é ), duas soluções que coincidem num ponto têm de coincidir em um intervalo ao redor desse ponto. Assim coincidiria com a solução constante numa vizinhança de . - Mas isso contradiz a condição inicial
(ou seja, não pode ser identicamente em todo o domínio já que em vale ). Portanto não existe tal : a solução não atinge . - O mesmo raciocínio vale para o valor
: se existisse com então coincidiria localmente com a solução constante , contradizendo . Logo para todo .
Passo 5
Concluir que
para todo
:
- Sabemos
, ou seja, no ponto inicial está estritamente entre e . - Por continuidade de
existe um intervalo em torno de onde . - Como mostramos no Passo 4, a solução não pode atingir nem
nem em nenhum ponto do seu domínio; portanto não pode “sair” da faixa por cruzar uma dessas fronteiras. - Assim,
para todo no domínio de . Isso responde a letra (a).
Passo 6
Mostrar que
é decrescente usando o sinal de
:
- Do enunciado temos que, para todo
,
- Pelo Passo 5 temos
para todo . Portanto e , o produto é negativo:
- Logo
para todo no domínio de .
Passo 7
Concluir que
é estritamente decrescente:
- Uma função diferenciável cuja derivada é negativa em todo o domínio é estritamente decrescente nesse domínio (porque a derivada negativa significa que, localmente, a função diminui; integrando esse fato em qualquer intervalo obtém-se monotonicidade estrita).
- Portanto
é estritamente decrescente para todo no seu domínio. Isso responde a letra (b).
Resposta
(a)
para todo
.
(b) é decrescente (estritamente decrescente).
(b)