Quinta Questão (2,0pts): Seja y=h(x) a solução do PVI
y^{\prime}=(y-1)(y-3), \quad y(0)=2
(a) Explique porque 1<h(x)<3 para todo x.
(b) Explique porque h é decrescente.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
  • A função desconhecida h(x) é solução do problema de valor inicial (PVI)
y'=(y-1)(y-3),\qquad y(0)=2.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Mostrar que 1<h(x)<3 para todo x no domínio de h.
    (b) Mostrar que h é decrescente (isto é, estritamente decrescente) no seu domínio.

Passo 2

Identificar pontos de equilíbrio (soluções constantes) e explicar o que são:
  • Para um EDO do tipo y'=f(y) (autônoma), pontos de equilíbrio são valores constantes y=\bar y tais que f(\bar y)=0. Nessas soluções y(x)\equiv\bar y para todo x.
  • Aqui f(y)=(y-1)(y-3). Resolver f(y)=0
y-1=0\quad\text{ou}\quad y-3=0,
logo existem duas soluções constantes: y\equiv 1 e y\equiv 3.
  • Essas constantes são relevantes porque, se a solução h(x) alguma vez fosse igual a 1 ou 3 num ponto, poderia coincidir localmente com uma solução constante — isso será usado mais adiante.

Passo 3

Analisar o sinal de y'=(y-1)(y-3) conforme a posição de y em relação a 1 e 3:
  • Se y<1, então y-1<0 e y-3<0, produto (y-1)(y-3)>0. Logo y'>0 quando y<1 (a solução sobe).
  • Se 1<y<3, então y-1>0 e y-3<0, produto (y-1)(y-3)<0. Logo y'<0 quando 1<y<3 (a solução desce).
  • Se y>3, então y-1>0 e y-3>0, produto (y-1)(y-3)>0. Logo y'>0 quando y>3 (a solução sobe).
  • Resumindo: nas três regiões (-\infty,1), (1,3) e (3,\infty) o sinal de y' é constante e conhecido.

Passo 4

Usar continuidade e unicidade para mostrar que a solução não pode atingir os níveis 1 ou 3:
  • Argumento por contradição para, digamos, o valor 1. Suponha que exista x_0 tal que h(x_0)=1.
  • Considere a função constante y(x)\equiv 1. Ela satisfaz a EDO porque substituindo dá y'=(1-1)(1-3)=0, e iguala h em x_0.
  • Pelo teorema de existência e unicidade para EDOs ordinárias (condições locais satisfeitas aqui porque f(y)=(y-1)(y-3) é C^1), duas soluções que coincidem num ponto têm de coincidir em um intervalo ao redor desse ponto. Assim h(x) coincidiria com a solução constante 1 numa vizinhança de x_0.
  • Mas isso contradiz a condição inicial h(0)=2 (ou seja, h não pode ser identicamente 1 em todo o domínio já que em x=0 vale 2). Portanto não existe tal x_0: a solução não atinge 1.
  • O mesmo raciocínio vale para o valor 3: se existisse x_1 com h(x_1)=3 então h coincidiria localmente com a solução constante 3, contradizendo h(0)=2. Logo h(x)\neq 3 para todo x.

Passo 5

Concluir que 1<h(x)<3 para todo x:
  • Sabemos h(0)=2, ou seja, no ponto inicial h está estritamente entre 1 e 3.
  • Por continuidade de h existe um intervalo em torno de 0 onde 1<h(x)<3.
  • Como mostramos no Passo 4, a solução não pode atingir nem 1 nem 3 em nenhum ponto do seu domínio; portanto não pode “sair” da faixa (1,3) por cruzar uma dessas fronteiras.
  • Assim, 1<h(x)<3 para todo x no domínio de h. Isso responde a letra (a).

Passo 6

Mostrar que h é decrescente usando o sinal de h':
  • Do enunciado temos que, para todo x,
h'(x)=(h(x)-1)(h(x)-3).
  • Pelo Passo 5 temos 1<h(x)<3 para todo x. Portanto h(x)-1>0 e h(x)-3<0, o produto é negativo:
(h(x)-1)(h(x)-3)<0\quad\text{para todo }x.
  • Logo h'(x)<0 para todo x no domínio de h.

Passo 7

Concluir que h é estritamente decrescente:
  • Uma função diferenciável cuja derivada é negativa em todo o domínio é estritamente decrescente nesse domínio (porque a derivada negativa significa que, localmente, a função diminui; integrando esse fato em qualquer intervalo obtém-se monotonicidade estrita).
  • Portanto h é estritamente decrescente para todo x no seu domínio. Isso responde a letra (b).

Resposta

(a) 1<h(x)<3 para todo x.
(b) h é decrescente (estritamente decrescente).

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