Calcule as integrais definidas listadas abaixo.
\int_{a}^{\sqrt{2} / 2} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}. Resposta. \pi / 4.

Passo 1

O enunciado (item a) nos pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}.
O conteúdo envolvido é o reconhecimento de que \frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}},
e em seguida aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Identificamos a primitiva da função integranda:
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin(x) + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a primitiva nos limites de 0 a \frac{\sqrt{2}}{2}:
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \Bigl[\arcsin(x)\Bigr]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \arcsin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) \;-\;\arcsin(0).

Passo 4

Sabemos que \arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{4} e \arcsin(0)=0. Logo,
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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