R. 202 (Unicamp-SP) Um antigo relógio de pêndulo é calibrado no frio inverno gaúcho. Considerando que o período do pêndulo desse relógio é dado por:
em que L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração local da gravidade, pergunta-se:
a) Esse relógio atrasará ou adiantará quando transportado para o quente verão nordestino?
Justifique as respostas.

Passo 1

O enunciado fala de um relógio de pêndulo calibrado no inverno gaúcho cujo período é dado por
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}},
sendo L o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade local. Precisamos analisar o que ocorre com o período quando o relógio for levado para o verão nordestino (ambiente mais quente e em latitude mais próxima do equador) e concluir se ele vai atrasar ou adiantar.

Passo 2

Primeiro, consideremos a variação de g com a latitude. Perto do equador, devido ao formato elipsoidal da Terra e à força centrífuga maior, a gravidade efetiva g é um pouco menor do que em latitudes altas como no Rio Grande do Sul. Se chamarmos de g_{\rm sul} a gravidade no inverno gaúcho e de g_{\rm nordeste} a gravidade no nordeste, temos
g_{\rm nordeste} < g_{\rm sul}.
Como T\propto 1/\sqrt{g}, uma diminuição de g implica aumento de T. Ou seja, só por causa de g menor, o período cresce e o relógio passa a marcar os segundos mais longos, fazendo-o atrasar.

Passo 3

Agora, vejamos o efeito térmico sobre o comprimento L. Num ambiente mais quente, o fio do pêndulo se expande termicamente. Se \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material do fio e \Delta T>0 o aumento de temperatura do inverno para o verão, então
L_{\rm quente} = L_{\rm frio}\,(1 + \alpha \,\Delta T),
ou seja, L aumenta. Como T\propto \sqrt{L}, esse aumento de L também provoca aumento de T, contribuindo para o relógio atrasar.

Passo 4

Juntando os dois efeitos — g menor e L maior — o período no nordeste será
T_{\rm nordeste} = 2\pi \sqrt{\frac{L_{\rm quente}}{g_{\rm nordeste}}} > 2\pi \sqrt{\frac{L_{\rm frio}}{g_{\rm sul}}} = T_{\rm ga�s},
logo o pêndulo demora mais tempo em cada oscilação e o relógio marca menos batidas por unidade de tempo real. Isso faz com que o relógio atrase.

Resposta

O relógio atrasará quando transportado para o quente verão nordestino.

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