[R] O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). (a) O que você diria a ele? (b) De qual fator a constante de torção deveria ser modificada para que esta roda catarina menor oscilasse com a frequência original?

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com a frequência angular de um oscilador torsional (MHS angular) se todas as dimensões da roda cairão para um terço do original, mantendo-se mesma densidade e mesma constante de torção C. Em seguida, pede de que fator deveríamos mudar C para que a roda menor oscile com a mesma frequência inicial. Vamos usar (1) como o momento de inércia escala sob mudança de escala linear e (2) a relação
\omega = \sqrt{\frac{C}{I}}
para um oscilador torsional.

Passo 2

Quando reduzimos todas as dimensões por um fator
a = \tfrac{1}{3},
o momento de inércia, que tem dimensão de massa × compriment o^{2}, escala como
I_{\text{novo}} = a^{5}\,I_{\text{inicial}} = \frac{1}{3^{5}}\,I_{\text{inicial}} = \frac{1}{243}\,I_{\text{inicial}}.
Isso vem do fato de a massa escalar com a^{3} e cada r^{2} em I=\int r^{2}\,dm trazer mais um fator a^{2}.

Passo 3

A frequência angular para o oscilador torsional é
\omega = \sqrt{\frac{C}{I}}.
Mantendo C inalterado e trocando I_{\text{inicial}} por I_{\text{novo}}, temos
\omega_{\text{novo}} = \sqrt{\frac{C}{I_{\text{novo}}}} = \sqrt{\frac{C}{(1/243)\,I_{\text{inicial}}}} = \sqrt{243}\;\sqrt{\frac{C}{I_{\text{inicial}}}} = \sqrt{243}\,\omega_{\text{inicial}}.

Passo 4

Calculando \sqrt{243}:
\sqrt{243} = \sqrt{3^{5}} = 3^{2}\,\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\approx 15{,}6.
Logo, sem mudar C, a frequência fica cerca de 15{,}6 vezes maior.

Passo 5

Para que a roda menor oscile com a mesma frequência, precisamos de C_{\text{novo}} tal que
\sqrt{\frac{C_{\text{novo}}}{I_{\text{novo}}}} = \sqrt{\frac{C_{\text{inicial}}}{I_{\text{inicial}}}}.
Elevando ao quadrado e isolando C_{\text{novo}}:
\frac{C_{\text{novo}}}{I_{\text{novo}}} = \frac{C_{\text{inicial}}}{I_{\text{inicial}}} \quad\Longrightarrow\quad C_{\text{novo}} = \frac{I_{\text{novo}}}{I_{\text{inicial}}}\;C_{\text{inicial}} = \frac{1}{243}\,C_{\text{inicial}}.
Isto é, a constante de torção teria de ser reduzida em 243 vezes (ficar \tfrac{1}{243} da original).

Resposta

(a) A frequência angular subiria em um fator \sqrt{243}=9\sqrt{3}\approx15{,}6.
(b) Para manter a frequência original, a constante de torção deve ser reduzida em 243 vezes (passar a ser \tfrac{1}{243} da original).

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