O chefe da fábrica de relógio onde você trabalha pergunta a você o que ocorreria com a frequência do MHS angular da roda catarina de um relógio se todas as suas dimensões fossem reduzidas a um terço do valor inicial para economizar material, mantendo a mesma densidade e a mesma mola (logo, a mesma constante de torção). (a) O que você diria a ele? (b) De qual fator a constante de torção deveria ser modificada para que esta roda catarina menor oscilasse com a frequência original?
Passo 1
O enunciado pergunta o que acontece com a frequência angular de um oscilador torsional (MHS angular) se todas as dimensões da roda cairão para um terço do original, mantendo-se mesma densidade e mesma constante de torção
. Em seguida, pede de que fator deveríamos mudar
para que a roda menor oscile com a mesma frequência inicial. Vamos usar (1) como o momento de inércia escala sob mudança de escala linear e (2) a relação
para um oscilador torsional.
Passo 2
Quando reduzimos todas as dimensões por um fator
o momento de inércia, que tem dimensão de massa × compriment
, escala como
Isso vem do fato de a massa escalar com
e cada
em
trazer mais um fator
.
Passo 3
A frequência angular para o oscilador torsional é
Mantendo
inalterado e trocando
por
, temos
Passo 4
Calculando
:
Logo, sem mudar
, a frequência fica cerca de
vezes maior.
Passo 5
Para que a roda menor oscile com a mesma frequência, precisamos de
tal que
Elevando ao quadrado e isolando
:
Isto é, a constante de torção teria de ser reduzida em
vezes (ficar
da original).
Resposta
(a) A frequência angular subiria em um fator
.
(b) Para manter a frequência original, a constante de torção deve ser reduzida em vezes (passar a ser
da original).
(b) Para manter a frequência original, a constante de torção deve ser reduzida em