Resolva a equação
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0
por séries centradas em x=0. Encontre os quatro primeiros coeficientes para a solução que satisfaz y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potência centradas em x=0 a equação
(1 - x^2)\,y'' \;-\;2x\,y' \;+\;2\,y \;=\;0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Vamos assumir uma solução do tipo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n
e determinar os coeficientes a_n por recorrência.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série:
y'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,x^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n\,x^{n-2}.

Passo 3

Substituindo em (1-x^2)y'' -2x y' +2y=0 e agrupando potências de x^m obtém-se, para todo m\ge0,
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} \;-\;m(m-1)\,a_m \;-\;2m\,a_m \;+\;2\,a_m \;=\;0.
Simplificando o coeficiente de a_m e fatorando, chega-se à relação de recorrência
\[ a_{m+2} \;=\;\frac{m-1}{m+1}\;a_m, \quad m=0,1,2,\dots
]

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais:
y(0)=a_0=1, \quad y'(0)=a_1=0.
Para m=0:
a_2=\frac{0-1}{0+1}\,a_0=-1.
Para m=1:
a_3=\frac{1-1}{1+1}\,a_1=0.

Passo 5

Os quatro primeiros coeficientes são:
a_0=1,\quad a_1=0,\quad a_2=-1,\quad a_3=0.

Resposta

a_0=1,\;a_1=0,\;a_2=-1,\;a_3=0.

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