Encontre a solução em série da equação
com condição inicial
e
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências da equação diferencial
sujeita a
e
.
O conteúdo aqui é método da série de potências em torno de : supomos
O conteúdo aqui é método da série de potências em torno de
e determinamos
por imposição da EDO e das condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos as derivadas em série. De
vem
Reescrevendo todos os somatórios com índice igual a
, obtemos
Passo 3
Substituindo na equação
e agrupando potências iguais de
, temos
Como a soma deve anular coeficiente a coeficiente, para todo
vale
Passo 4
As condições
e
dão
Passo 5
Usamos a recorrência
separando índices pares e ímpares.
Para temos
Para
com
, daí por indução
Para
vem
com
, e por indução obtém-se
Passo 6
Logo a solução em série fica