Encontre a solução em série da equação
y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0,
com condição inicial y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências da equação diferencial
y'' + x\,y' + y = 0
sujeita a y(0)=1 e y'(0)=-1.
O conteúdo aqui é método da série de potências em torno de x=0: supomos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,
e determinamos a_n por imposição da EDO e das condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos as derivadas em série. De
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
vem
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_nx^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_nx^{n-2}.
Reescrevendo todos os somatórios com índice igual a n, obtemos
y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n, \quad x\,y'=\sum_{n=0}^{\infty}n\,a_nx^n, \quad y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.

Passo 3

Substituindo na equação y''+x\,y'+y=0 e agrupando potências iguais de x^n, temos
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[(n+2)(n+1)a_{n+2}+n\,a_n+a_n\bigr]x^n=0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}\bigl[(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_n\bigr]x^n=0.
Como a soma deve anular coeficiente a coeficiente, para todo n\ge0 vale
(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1)a_n=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2}=-\frac{a_n}{n+2}.

Passo 4

As condições y(0)=1 e y'(0)=-1 dão
a_0=1, \qquad y'(0)=a_1=-1.

Passo 5

Usamos a recorrência a_{n+2}=-a_n/(n+2) separando índices pares e ímpares.
Para n=2k temos
a_{2k+2}=-\frac{a_{2k}}{2k+2},
com a_0=1, daí por indução
a_{2k} = \frac{(-1)^k}{2^k\,k!}\quad(k=0,1,2,\dots).
Para n=2k+1 vem
a_{2k+3}=-\frac{a_{2k+1}}{2k+3},
com a_1=-1, e por indução obtém-se
a_{2k+1} = \frac{(-1)^{\,k+1}}{(2k+1)!!} \quad\text{onde}\quad (2k+1)!!=1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1).

Passo 6

Logo a solução em série fica
y(x) =\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k}\,x^{2k} +\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}\,x^{2k+1} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2^k\,k!}\,x^{2k} +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!!}\,x^{2k+1}.

Resposta

y(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2^k\,k!}\,x^{2k} +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!!}\,x^{2k+1}.

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