for vetor que vai desde a origem ao ponto ( ).
a) Demonstre as fórmulas
b) Existe uma função escalar tal que ? Caso afirmativo encontre essa função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando de cálculo vetorial: operações com o vetor posição .
Conteúdo: operação de divergente (), rotacional (), derivada direcional e potencial de um campo (procurar tal que ).
O que precisamos: lembrar as definições de , , e como integrar um gradiente.
Passo 2
Calcular .
Definição:
Cada derivada parcial é 1, então
Passo 3
Calcular .
Definição via determinante:
Desenvolvendo:
Componente : .
Componente : .
Componente : .
Logo .
Passo 4
Calcular (vec ucdotnabla),vec r = uxpartialvec rpartial x + uypartialvec rpartial y + uzpartialvec rpartial z .
Se (vec ucdotnabla),vec r = uxhat i + uyhat j + uzhat k = vec u , então
Mas , pois derivada de em relação a só deixa .
Do mesmo jeito e .
Então
Passo 5
Agora parte (b): existe phi(x,y,z) = integral x,dx = tfracx^22 + g(y,z), tal que partialyl(tfracx^22+g(y,z)r) = gy(y,z) = y ;Rightarrow; g(y,z)=tfracy^22+h(z) ?
Procuramos partialzl(tfracx^22+tfracy^22+h(z)r) = h'(z) = z ;Rightarrow; h(z)=tfracz^22+C satisfazendo phi(x,y,z) = x^22 + y^22 + z^22 + C
Integramos em :
onde é “constante” em relação a .
Agora exigimos :