Se r for o vetor que vai desde a origem ao ponto ( x, y, z ).
a) Demonstre as fórmulas nabla cdot r=3 ; nabla times r=0 e(u cdot nabla) r=u
b) Existe uma função escalar phi tal que nabla phi=r ? Caso afirmativo encontre essa função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando de cálculo vetorial: operações com o vetor posição
.
Conteúdo: operação de divergente ( ), rotacional ( ), derivada direcional e potencial de um campo (procurar tal que ).
O que precisamos: lembrar as definições de , , e como integrar um gradiente.

Passo 2

Calcular nablacdotvec r = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z) .
Definição:
nablacdotvec r = 1 + 1 + 1 = 3
Cada derivada parcial é 1, então

Passo 3

Calcular nablatimesvec r = hat i & hat j & hat k partialx & partialy & partialz x & y & z .
Definição via determinante:
Desenvolvendo:
  • Componente : .
  • Componente : .
  • Componente : .
    Logo .

Passo 4

Calcular (vec ucdotnabla),vec r = uxpartialvec rpartial x + uypartialvec rpartial y + uzpartialvec rpartial z .
Se (vec ucdotnabla),vec r = uxhat i + uyhat j + uzhat k = vec u , então
Mas , pois derivada de em relação a só deixa .
Do mesmo jeito e .
Então

Passo 5

Agora parte (b): existe phi(x,y,z) = integral x,dx = tfracx^22 + g(y,z), tal que partialyl(tfracx^22+g(y,z)r) = gy(y,z) = y ;Rightarrow; g(y,z)=tfracy^22+h(z) ?
Procuramos partialzl(tfracx^22+tfracy^22+h(z)r) = h'(z) = z ;Rightarrow; h(z)=tfracz^22+C satisfazendo
phi(x,y,z) = x^22 + y^22 + z^22 + C
Integramos em :
onde é “constante” em relação a .
Agora exigimos :
Por fim
Juntando tudo:

Resposta

a) ; ; .
b) , pois .

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