Se
for o vetor que vai desde a origem ao ponto
.
Existe uma função escalar
tal que
? Caso afirmativo encontre essa função.
Existe uma função escalar
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é: dado o vetor
que vai da origem até , será que existe uma função escalar
tal que
?
Isso envolve conteúdo de cálculo vetorial – mais especificamente campos conservativos e gradiente – e para resolver vamos usar integração de derivadas parciais.
que vai da origem até
Isso envolve conteúdo de cálculo vetorial – mais especificamente campos conservativos e gradiente – e para resolver vamos usar integração de derivadas parciais.
Passo 2
Lembrando que
queremos então que
Começamos integrando a primeira igualdade.
Passo 3
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 4
Agora usamos a condição em
. Como
e queremos que isso seja igual a
, temos
onde
é outra “constante” de integração, agora só em função de
.
Passo 5
Por fim, usamos a condição em
:
e queremos que isso seja igual a
. Logo,
sendo
uma constante real.
Resposta
Sim, existe essa função escalar, e ela é
mais uma constante.