Se r for o vetor que vai desde a origem ao ponto (x, y, z).
Existe uma função escalar phi tal que nabla phi=r ? Caso afirmativo encontre essa função.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: dado o vetor

que vai da origem até , será que existe uma função escalar tal que
?
Isso envolve conteúdo de cálculo vetorial – mais especificamente campos conservativos e gradiente – e para resolver vamos usar integração de derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que
nabla phi = l(partial phipartial x,;partial phipartial y,;partial phipartial zr),
queremos então que
partial phipartial x = x, partial phipartial y = y, partial phipartial z = z
Começamos integrando a primeira igualdade.

Passo 3

Integramos
partial phipartial x = x
em relação a phi(x,y,z) = integral x,dx = x^22 + h(y,z), :
onde é uma “constante” de integração que pode depender de e .

Passo 4

Agora usamos a condição em partial phipartial y = partialpartial yl(tfracx^22 + h(y,z)r) = partial hpartial y, . Como
partial hpartial y = y Longrightarrow h(y,z) = integral y,dy = y^22 + k(z),
e queremos que isso seja igual a , temos
onde é outra “constante” de integração, agora só em função de .

Passo 5

Por fim, usamos a condição em partial phipartial z = partialpartial zl(tfracx^22 + tfracy^22 + k(z)r) = k'(z), :
k'(z) = z Longrightarrow k(z) = integral z,dz = z^22 + C,
e queremos que isso seja igual a . Logo,
sendo uma constante real.

Resposta

boxedphi(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^22 + C
Sim, existe essa função escalar, e ela é mais uma constante.

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