Se e , descreva o conjunto de todos os pontos de tal forma que , onde .
Passo 1
O enunciado dá dois pontos fixos no plano, e , e nos pede o lugar geométrico dos pontos tais que
sendo k>l|r1-r2r|. O conteúdo aqui é a definição de elipse em geometria analítica, pois uma elipse pode ser definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois focos fixos é constante e maior que a distância entre esses focos.
Passo 2
Lembrando que
l|r-rir|=raiz(x-xi)^2+(y-yi)^2,
a equação
raiz(x-x1)^2+(y-y1)^2 + raiz(x-x2)^2+(y-y2)^2 =k
é exatamente a definição de elipse com focos em r1 e r2. A condição k>l|r1-r2r| garante que a elipse exista (caso contrário não haveria pontos reais que satisfaçam a soma de distâncias).
Passo 3
Para obter a forma canônica, definimos
d=l|r1-r2r|, a=k2, c=d2, b=raiza^2-c^2
Se colocarmos a elipse num sistema de coordenadas em que o centro
(x0,y0)=l(tfracx1+x22,;tfracy1+y22r)
fica na origem e os focos em (-c,0) e (c,0), a equação canônica é
x^2a^2+y^2b^2=1
Voltando ao sistema original, basta transladar essa equação de volta para o centro (x0,y0) e girar o eixo principal na direção do segmento de reta de r1 a r2.
Passo 4
Em resumo, o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que l|r-r1r|+l|r-r2r|=k
é uma elipse de focos em r1 e r2, de semieixo maior a=k/2 e semieixo menor b=raiz(k/2)^2-(d/2)^2.
Resposta
O lugar geométrico é uma elipse cujos focos são r1 e r2 e cuja soma das distâncias aos focos é k.