Translação da origem III. (a) Considere a equação vetorial a1 A1+a2 A2+a3 A3= 0 em que os Aj, são vetores no espaço de dimensão d=3 e aj são escalares que satisfazem sumj=1^3 aj=0. Mostre que essas equações representam, geometricamente, dois vetores que partem da mesma origem e terminam na mesma linha reta.

Passo 1

O enunciado dá uma equação vetorial em ℝ³
a1, A1 ;+; a2, A2 ;+; a3, A3 ;=; 0
com a condição extra
a1+a2+a3=0
O assunto é geometria vetorial (colinearidade/barycentros) e o que vamos usar é:
  1. linearidade de combinação de vetores;
  2. o fato de que uma combinação com dá um ponto na reta que passa por e .

Passo 2

Como a3 ;=; -,(a1+a2) , temos
a1 A1+a2 A2;-;(a1+a2), A3 ;=;0 Longrightarrow a1 A1+a2 A2 ;=; (a1+a2), A3
Substituindo em , dá

Passo 3

Agora dividimos por lambda1 = a1a1+a2, lambda2 = a2a1+a2 (supondo lambda1, A1 ;+;lambda2, A2 ;=; A3 , o caso degenerado é trivial). Definimos
Note que . A igualdade vira
Essa é a descrição clássica de um ponto sobre a reta que liga a : é uma combinação afim (barycêntrica) com soma dos pesos igual a 1.

Passo 4

Geometricamente, a equação original
a1 A1+a2 A2 ;=; (a1+a2), A3
diz simplesmente que o vetor da origem até o ponto coincide com o vetor da origem até . Ou seja, são dois vetores com mesma origem e mesma extremidade, e essa extremidade está sobre a reta .

Resposta

A condição a1 A1+a2 A2 =(a1+a2) A3, permite escrever
lambda1 A1+lambda2 A2= A3, lambda1+lambda2=1
que em forma normalizada é
Isso mostra que ambos os vetores (à esquerda e à direita) partem da mesma origem e terminam no mesmo ponto de uma reta (a reta que passa por e ).

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