Translação da origem III. (a) Considere a equação vetorial
0 em que os
, são vetores no espaço de dimensão
e
são escalares que satisfazem
. Mostre que essas equações representam, geometricamente, dois vetores que partem da mesma origem e terminam na mesma linha reta.
Passo 1
O enunciado dá uma equação vetorial em ℝ³
com a condição extra
O assunto é geometria vetorial (colinearidade/barycentros) e o que vamos usar é:
- linearidade de combinação de vetores;
- o fato de que uma combinação
com dá um ponto na reta que passa por e .
Passo 2
Como
, temos
Substituindo em
, dá
Passo 3
Agora dividimos por
(supondo
, o caso degenerado é trivial). Definimos
Note que
. A igualdade vira
Essa é a descrição clássica de um ponto
sobre a reta que liga
a
: é uma combinação afim (barycêntrica) com soma dos pesos igual a 1.
Passo 4
Geometricamente, a equação original
diz simplesmente que o vetor da origem até o ponto
coincide com o vetor da origem até
. Ou seja, são dois vetores com mesma origem e mesma extremidade, e essa extremidade está sobre a reta
.
Resposta
A condição
permite escrever
que em forma normalizada é
Isso mostra que ambos os vetores (à esquerda e à direita) partem da mesma origem e terminam no mesmo ponto de uma reta (a reta que passa por
e
).